ファクラーの再帰式（年金数理）

責任準備金を1年ずつ前進計算する再帰式。期首の責任準備金と保険料を利息で繰り上げ、脱退給付を差し引いて残存者で割ると翌期末の責任準備金になる。

となる（$d_{x}=l_{x}-l_{x+1}$ は脱退者数、$B_{t+1}$ はその年度の脱退者1人あたり給付）。

式の読み方

・$(1+i)(V_{t}+P)$：期初の責任準備金に保険料を足して1年運用する ・$\dfrac{d_{x}}{l_{x}}B_{t+1}$：その年度に脱退した人へ払う給付（脱退率×給付額） ・$\dfrac{l_{x}}{l_{x+1}}$：残った人数で割り直す（生存者利得が残存者に配分される） ・$\dfrac{b_{x}}{b_{x+1}}$：給与1あたりに直すための割り戻し

生命保険版との違いは給与指数の比だけ

生保数理のファクラー（SEI033）は $({}_tV+P)(1+i)={}_{t+1}V\,p_{x+t}+q_{x+t}$ で給与指数が出てこない。年金数理では責任準備金と保険料を「給与1あたり」で持つので、分母の給与が1年で $b_{x+1}/b_{x}$ 倍になるぶんを割り戻す必要がある。この1項を落とすと昇給率のぶん（数パーセント）ずれる。

どこで使うか

制度発足直後は $V_{0}=0$ から始めて1年ずつ進める。責任準備金の表が与えられずに「第2年度末の責任準備金を求めよ」と言われたときの唯一の道具である（2018年度問題1(8)）。

記号の注意

$d$ は割引率 $\dfrac{i}{1+i}$ にも使うが、ここでの $d_{x}$ は脱退者数である。本試験も同じ文字を両方の意味で使うので、添字の有無で読み分ける。

・給与指数 $b_{55}=1.00$、$b_{56}=1.05$、$b_{57}=1.10$

（1）第1年度末（給与1あたり）

$V_{1}=\dfrac{1.00}{1.05}\cdot\dfrac{1{,}000{,}000}{900{,}000}\Bigl\{1.015\times(0+1.0)-\dfrac{100{,}000}{1{,}000{,}000}\times1\Bigr\}=0.9683$

脱退者への給付は「加入年数1年×給与」なので係数が1である。

（2）第2年度末

$V_{2}=\dfrac{1.05}{1.10}\cdot\dfrac{900{,}000}{800{,}000}\Bigl\{1.015\times(0.9683+1.0)-\dfrac{100{,}000}{900{,}000}\times2\Bigr\}=1.9067$

加入年数が2年になったので給付の係数が2になる。

（3）給与総額を掛けて制度全体にする

第1年度加入者の第2年度末給与総額は $100\times100{,}000\times\dfrac{800{,}000}{1{,}000{,}000}\times\dfrac{1.10}{1.00}=8{,}800{,}000$、第2年度加入者は $80\times95{,}000\times\dfrac{900{,}000}{1{,}000{,}000}\times\dfrac{1.05}{1.00}=7{,}182{,}000$。したがって

$0.9683\times7{,}182{,}000+1.9067\times8{,}800{,}000=23{,}733{,}000$

で正答（Ｈ）23,733千円。在職2年目の集団に $V_{2}$、在職1年目の集団に $V_{1}$ を当てるという対応を間違えないこと。

（4）給与指数を落とすとどうなるか

$\dfrac{b_{55}}{b_{56}}$ を落として計算すると $V_{1}=1.0167$ になり、正しい $0.9683$ の $1.05$ 倍。昇給率5 パーセントがそのまま誤差になる。