責任準備金の再帰式

責任準備金の年度間の関係。期首の責任準備金と保険料を利息で繰り上げ、当年度の給付を差し引くと期末の責任準備金になる。財政決算の差損益分解の骨格になる。

$V_{t}$ は第 $t$ 年度期初の責任準備金（総額）、$P_{t}$ はその年度の標準保険料収入（総額）、$B_{t}$ はその年度に実際に支払った給付（総額）、$i$ は予定利率である。

覚える式ではなく、定義から1行で出る

NEN043 の将来法の定義 $V=S-P\,G$ を1年ぶんずつ分解する。給付現価も保険料収入現価も

$S_{t}=v\,(B_{t}+S_{t+1})$

$P\,G_{t}=P_{t}+v\,P\,G_{t+1}$

と書ける（$v=\dfrac{1}{1+i}$）。差を取ると

$V_{t}+P_{t}=v\,(B_{t}+V_{t+1})$

となり、両辺を $1+i$ 倍すれば上の式になる。恒等式なので、暗記ではなく定義から出せる。

ファクラーの再帰式との違いは粒度だけ

NEN056 のファクラーの再帰式は同じことを給与1あたり・1人あたりで書いたものである。1人あたりに直すと

・脱退者の持分を残った人に配分する $\dfrac{l_{x}}{l_{x+1}}$ ・給与1あたりに直す $\dfrac{b_{x}}{b_{x+1}}$

の2つの割り戻しが必要になる。本概念は総額で書くので、この2つが要らない。脱退は給付現価と保険料収入現価の中にすでに織り込まれているからである。「どちらの式を使うか」ではなく「総額で書いているか1人あたりで書いているか」を先に決める。

積立金の漸化式と対にすると差損益になる

積立金 $F$ も同じ形の漸化式に従う。

$(F_{t}+C_{t})(1+i^{\prime})-B_{t}=F_{t+1}$

$C_{t}$ は実際の掛金収入、$i^{\prime}$ は実際の運用利回りである。責任準備金の側は予定、積立金の側は実績で回っているので、2本の差を取ると未積立債務 $U=V-F$ の1年間の動きになる。財政決算で利源分解（NEN064）や利差（NEN065）を計算するときの骨格がこれである。差損益の単元がこの1行の上に乗っている。

・定年到達者に給与1あたり10倍の一時金を支給する（在職中の脱退には給付なし）

・標準保険料 $P=2.487944$（NEN042 で求めた値・給与1あたり）

（1）57歳から58歳へ

制度発足時なので $V_{57}=0$（NEN043（4））。保険料収入は $1{,}000\times2.487944=2{,}487.944$、この年度の給付支払は0だから

$V_{58}=(0+2{,}487.944)\times1.02-0=2{,}537.703$

1人あたりに直すと $\dfrac{2{,}537.703}{900}=2.819670$ で、将来法の $S_{58}-P\,G_{58}=7.475757-2.487944\times1.871460$ と一致する。2つの経路で同じ値が出る。

（2）58歳から59歳へ

保険料収入は $900\times2.487944=2{,}239.150$、給付支払はまだ0である。

$V_{59}=(2{,}537.703+2{,}239.150)\times1.02-0=4{,}872.390$

1人あたりは $\dfrac{4{,}872.390}{800}=6.090487$ で、これも将来法の $8.578431-2.487944\times1.000000$ と一致する。

（3）59歳から60歳へ（給付が出る年度）

保険料収入は $800\times2.487944=1{,}990.355$、定年到達者700人への給付総額は $700\times10=7{,}000$ である。

$V_{60}=(4{,}872.390+1{,}990.355)\times1.02-7{,}000=7{,}000.000-7{,}000=0$

責任準備金がちょうど給付を払い切って0になる。これは偶然ではなく、加入時点で収支が相等するように $P$ を決めたことの帰結である。

（4）検算のしかた

3年ぶんの推移 $0\to2{,}537.703\to4{,}872.390\to0$ は、各年度で将来法 $V=S-P\,G$ を計算しても同じ値になる。漸化式で進めた値と将来法の値がずれたら、給付の年度か利息の付け方のどちらかを間違えている。