連続モデルによる定式化

加入・脱退・保険料・給付がすべて連続的に起こるとして、積立金や標準保険料を積分で表すモデル。単位時間あたりの標準保険料を問う設問が近年ほぼ毎年出る。

標準保険料率は給付現価を人数現価（給与比例なら給与現価）で割ったものなので、加入年齢方式なら

$^{E}\!P=\dfrac{\displaystyle\int(\text{給付})\,e^{-(\delta+\mu-\lambda)\tau}\,d\tau}{\displaystyle\int e^{-(\delta+\mu-\lambda)\tau}\,d\tau}$

という形になる。3つの指数が指数ひとつにまとまるのがこのモデルの計算上の利点である。

中途脱退の給付には脱退力を掛ける

$\mu\,d\tau$ が「$\tau$ から $\tau+d\tau$ の間に脱退する確率」なので、中途脱退時の給付は

$\displaystyle\int_{0}^{n}(\text{給付額})\cdot\mu\cdot e^{-(\delta+\mu)\tau}\,d\tau$

と書く。一方定年到達時の給付には脱退力を掛けない。定年年齢に達した人は確率 $e^{-\mu n}$ で確定的に到達するので、$e^{-\delta n}e^{-\mu n}$ をそのまま掛ける。ここが最大の分かれ目である。

加入年数に比例する給付

給付額が加入年数 $\tau$ に比例すると、分子に $\tau$ が入って

$\displaystyle\int_{0}^{n}\tau\,\mu\,e^{-(\delta+\mu)\tau}\,d\tau=\mu\cdot\dfrac{1-e^{-n(\delta+\mu)}}{(\delta+\mu)^{2}}-\dfrac{n\,\mu\,e^{-n(\delta+\mu)}}{\delta+\mu}$

となる。部分積分1回で出る形で、2022年度・2023年度がどちらもこれである。

連続払確定年金

$\bar a_{\angl{n}}=\displaystyle\int_{0}^{n}e^{-\delta t}\,dt=\dfrac{1-e^{-n\delta}}{\delta}$

給付が年金の場合はこれを掛ける。期初払の $\ddot a$ とは別物なので取り違えない。

（1）連続払10年確定年金現価率

$\bar a_{\angl{10}}=\dfrac{1-e^{-0.2}}{0.02}=9.0635$

（2）分母（給与現価）

$\displaystyle\int_{0}^{40}e^{-(0.02+0.06-0.03)\tau}\,d\tau=\dfrac{1-e^{-2.0}}{0.05}=17.2933$

（3）分子（給付現価）

中途脱退分は20年以降だけなので

$\displaystyle\int_{20}^{40}3\times0.06\times e^{-0.05\tau}\,d\tau=\dfrac{0.18}{0.05}\bigl(e^{-1.0}-e^{-2.0}\bigr)=0.8372$

定年到達分は $3\times e^{-0.8}\times e^{-2.4}\times e^{1.2}\times\bar a_{\angl{10}}=150\,e^{-2.0}\bigl(1-e^{-0.2}\bigr)=3.6798$

（4）標準保険料率

$^{E}\!P=\dfrac{0.8372+3.6798}{17.2933}=0.2612$

公式解は $0.2611\cdots$ で正答（Ｅ）0.26。数値積分でも同じ値になる。

（5）他年度も同じ骨格で解ける

・2022年度問題1(6)：$\delta=0.03$・$\mu=0.08$・15年確定年金。人数現価 $8.9793$、$\bar a_{\angl{15}}=12.0791$、$^{E}\!P=157{,}318$ 円（正答Ｆ）

・2023年度問題1(3)：脱退時平均加入年数 $\dfrac{1-e^{-40\mu}}{\mu}=\dfrac{\delta}{\mu}\bar a_{\angl{60}}$ から $\mu=0.03$ を逆算し、$^{E}\!P=11.95$ 万円（正答Ｈ）

・2024年度問題1(4)：$l_{x}$ が1次式で連続的に推移する制度で、年1回払と年2回払の標準保険料の比 $1.970987$（正答Ｄ）