運用利回りが予定利率と異なる場合の積立金

実際の運用利回り $i^{\prime}$ が予定利率 $i$ と食い違ったときの積立金の推移。差は利差損益として現れ、翌年度以降の積立金を予定と乖離させる。

である。$C-B=-dF$（極限方程式）を代入し、両辺に $v'^{t+1}$（$v'=\dfrac{1}{1+j}$）を掛けて足し上げると

$F_{n}=(1+j)^{n}F-\dfrac{d}{d'}\bigl\{(1+j)^{n}-1\bigr\}F,\qquad d'=\dfrac{j}{1+j}$

という閉じた形になる。$F$ で割れば「定常水準の何倍か」だけの式になるので、$B$ も $C$ も要らない。

割引率の比の形を覚える

$\dfrac{d}{d'}=\dfrac{i}{1+i}\cdot\dfrac{1+j}{j}$

である。2018年度問題1(4) の選択肢は10個ともこの分数の形だけを入れ替えたもので、$\dfrac{i}{1+i}$ と $\dfrac{1+i}{1+j}$ の区別、$\dfrac{1+j}{j}$ と $\dfrac{1}{j}$ の区別を突いている。正答（Ｊ）は上の形である。

給付を毎年作り直すと式が簡単になる

「その年度の期末積立金が極限方程式を満たすような給付額を翌年度の給付額にする」制度では、毎年 $B$ が積立金に合わせて作り直される。すると

$\dfrac{F_{n}}{F}=\Bigl(\dfrac{1+j}{1+i}\Bigr)^{n}$

という比の累乗だけになる（2025年度問題2(1)(イ)）。給付を毎年調整する制度のほうが、調整しない制度より積立金の目減りが小さい。

利差損益との関係

1年分で見ると、予定と実績の差は $(j-i)\times(\text{運用資産})$ である。これが利差損益（NEN065）で、本概念は利差損益を何年も積み上げたときの姿を見ている。

漸化式を10回回した値と一致する。公式解は $0.55599$（正答Ｂ）で、与えられた諸数値 $0.98^{10}=0.81707$ を使うとその値が出る（厳密値は $0.556002$）。

（2）給付を毎年作り直す場合

$\dfrac{F_{10}}{F}=\Bigl(\dfrac{0.98}{1.03}\Bigr)^{10}=0.60797$（正答Ｂ）

$0.556\to0.608$ の差が「給付を毎年調整することの効果」である。

（3）一定倍以上になる年数（2018年度問題1(4)）

$j>i$ の場合に $F_{n}\ge\alpha F$ となる条件は

$n\ge\log\dfrac{\alpha-\dfrac{d}{d'}}{1-\dfrac{d}{d'}}\Big/\log(1+j)$

である。$i=2.0$ パーセント・$j=5.0$ パーセント・$\alpha=1.5$ なら $n\ge12.61$ なので13年。数値探索でも13年で初めて超える。

（4）給付を積立金に連動させた場合（2024年度問題1(8)）

$B_{t}=B_{0}\dfrac{F_{t}}{F_{0}}$、期末拠出、$B=2C$、$j=-8.0$ パーセントの1年だけの悪化。$F_{1}=0.9F_{0}$ になり、以後 $F_{t+1}=F_{t}(1-i)+C$ を回すと初めて 95 パーセント以上に戻るのは36年後（正答Ｉ）。$\log0.5/\log0.98=34.31$ から $n\ge35.31$ を得る筋道でも同じ答になる。