積立金の漸化式

積立金の年度間の関係を1本の漸化式で表したもの。保険料・給付・運用利回りを与えて何年後にどうなるかを追う設問の基本形。

の1本である。この式から「$n$ 年後の積立金」を出す手筋は決まっている。

標準手筋：両辺に割引率を掛けて足し上げる

両辺に $v^{t+1}$ を掛けると

$v^{t+1}F_{t+1}=v^{t}F_{t}+v^{t}(C-B)$

となり、$t=0,1,\dots,n-1$ について足すと左辺と右辺の $v^{t}F_{t}$ が打ち消えて

$v^{n}F_{n}=F_{0}+(C-B)\,\ddot a_{\angl{n}}$

が残る。$\ddot a_{\angl{n}}=\dfrac{1-v^{n}}{d}$ である。2018年度問題1(4) と 2023年度問題2(4) はどちらもこの1行で解ける。

保険料を変えたときの差の形

定常状態から保険料だけを $\alpha C$（$0<\alpha<1$）に減らすと、上の式を減額前と減額後で引き算して

$(1-\alpha)C\,\ddot a_{\angl{t}}=v^{t}(F-F_{t})$

になる。左辺は減らした保険料の累計の現価、右辺は積立金の目減りの現価で、減らしたぶんがそのまま積立金の穴になることを言っている（2023年度問題2(4)(ア)）。

保険料が積立金の関数になる場合

閉鎖型総合保険料方式では保険料が $^{c}\!P_{n}=\dfrac{S^{p}+S^{a}-{}^{c}\!F_{n}}{G^{a}}$ と積立金の関数になる。これを代入すると

$^{c}\!F_{n+1}={}^{c}\!F_{n}\Bigl(1-\dfrac{L}{G^{a}}\Bigr)(1+i)+\Bigl(\dfrac{S^{p}+S^{a}}{G^{a}}L-B\Bigr)(1+i)$

という$^{c}\!F_{n}$ の1次式になる。1次式なら等比数列に直せるので収束も単調性も言える（NEN053・2018年度問題3の16点大問）。

・第1年度以降、保険料だけを $\alpha C$（$\alpha=0.7$）に減らす

（1）足し上げの式が実際に成り立つか

$t=1$：$(1-\alpha)C\,\ddot a_{\angl{1}}=0.3\times6{,}717.45\times1=2{,}015.24$、$v^{1}(F-F_{1})=2{,}015.24$。

$t=5$：どちらも $9{,}688.70$。$t=15$：どちらも $26{,}412.17$。3点とも一致する。

（2）本試験（2023年度問題2(4)）の再現

同じ形の設問が「$F_{t}$ が第15年度末に初めて $\dfrac{\alpha+1}{2}$ 倍を下回った。$\dfrac{C}{B}$ はいくらか」として出ている。上の式を整理すると

$\dfrac{1}{2(1+i)^{t}-1}<\dfrac{C}{B}\le\dfrac{1}{2(1+i)^{t-1}-1}$

となり、$i=2.0$ パーセント・$t=15$ で $0.5911<\dfrac{C}{B}\le0.6101$。公式解の $0.60$ がこの範囲に入る。 実際に $C/B=0.60$ で漸化式を回すと、初めて下回るのが第15年度末であることも確認できる。

（3）減額率で割るときの注意

途中で両辺を $1-\alpha$ で割る。$0<\alpha<1$ だから $1-\alpha>0$ で不等号の向きは変わらないが、$\alpha>1$（保険料を増やす）の設問では向きが反転する。