定常状態における積立金

定常人口のもとで積立金が時間不変になる水準。各財政方式の積立金水準の比較はこの値どうしを比べる。漸化式の不動点として求まる。

となる。この式を極限方程式と呼ぶ。左辺は「保険料＋積立金が生む利息」、右辺は「給付」で、入ってくるものと出ていくものが釣り合っていることを言っている。

解くと積立金が出る

$F=\dfrac{B-C}{d}\qquad(d=\dfrac{i}{1+i})$

期末拠出の制度なら $F=\dfrac{B-C}{i}$ で、分母が $d$ か $i$ かだけが違う（比はちょうど $1+i$）。

方式の比較はこの値どうしを比べている

賦課方式は $C=B$ なので $F=0$、完全積立方式は $C=0$ なので $F=\dfrac{B}{d}$ である。他の方式はこの間に並ぶ（NEN039）。つまり「積立金水準の順序」は「$C$ の順序を逆さにしたもの」で、極限方程式1本から出てくる。

漸化式の不動点であることの意味

$F$ が極限方程式を満たすなら、そこから漸化式を何回回しても動かない。逆に $F$ がずれていれば、ずれは等比数列で増えるか減るかする（NEN053）。「定常状態の積立金」は目標値ではなく、漸化式の釣り合いの点である。

（1）極限方程式で解く

$C+dF=B$ より

$F=\dfrac{8{,}536.59-6{,}717.45}{0.0196078}=92{,}775.90$

（2）本当に不動か

$F_{0}=92{,}775.90$ から $F_{t+1}=(F_{t}+C-B)(1+i)$ を400回回しても $92{,}775.90$ のまま動かない。極限方程式は「収束先の予想」ではなく「動かない点の定義」である。

（3）期末拠出だと

$F=\dfrac{1{,}819.14}{0.02}=90{,}956.77$ で、期初拠出の値の $\dfrac{1}{1.02}$ 倍。同じ制度設計でも拠出時期の前提だけで 2 パーセント動く。

（4）方式の両端

賦課方式は $C=B=8{,}536.59$ なので $F=0$、完全積立方式は $C=0$ なので $F=\dfrac{8{,}536.59}{0.0196078}=435{,}365.85$。B3 の6方式の積立金はすべてこの間に入っている。