積立金の定義と収支

制度が実際に保有している資産。期首積立金に保険料収入と運用収益を加え、給付費を差し引いて期末積立金になる。責任準備金との差が未積立債務。

となる。期初に入れて出した後の残高を1年運用するので、$(1+i)$ が括弧の外に出る。

期末拠出だと式が変わる

保険料と給付が期末に動く制度では、運用の対象が期初残高だけなので

$F_{t+1}=F_{t}(1+i)+C-B$

になる。2024年度問題1(8) はこちらの前提で出題されている。どちらの式かは「保険料および給付は年1回期末払い」のような1行の前提文で決まるので、設問文のその1行を必ず読む。

責任準備金との違い

責任準備金 $V$ は給付現価から標準保険料収入現価を控除した額で、持っているべき額である。積立金は実際に持っている額なので

$(\text{未積立債務})=V-F$

となる。積立金がゼロでも未積立債務はゼロにならない（賦課方式では未積立債務が責任準備金そのものになる）。

期初の中でも順序がある

本試験は「定年退職による脱退 → 新規加入 → 保険料の払い込み → 給付の支払い」のように期初の中の順序まで指定してくる（2023年度問題2(5)）。順序が変わると、その年度の保険料を払う人数と給付を受ける人数が変わるので答が動く。

定常状態では $F_{t+1}=F_{t}=F$ なので $F=(F+C-B)(1+i)$ となり、これを解くと

$F=\dfrac{B-C}{d}=\dfrac{8{,}536.59-6{,}717.45}{0.0196078}=92{,}775.90$

である。漸化式を400回回しても同じ値のまま動かない（不動点である）。

（2）期末拠出だとどうなるか

$F=F(1+i)+C-B$ より $F=\dfrac{B-C}{i}=\dfrac{1{,}819.14}{0.02}=90{,}956.77$ になる。

$\dfrac{92{,}775.90}{90{,}956.77}=1.02=1+i$ で、ちょうど予定利率1年分だけ違う。$B$ と $C$ が同じでもこれだけ動くので、前提文の読み落としは 2 パーセントの誤差に直結する。

（3）未積立債務

このトイモデルの加入年齢方式の責任準備金は $V=S^{p}+S^{a}-{}^{E}\!P\,G^{a}=92{,}775.95$ である。仮に積立金が $80{,}000$ しかなければ未積立債務は $12{,}775.95$ で、積立金が正でも未積立債務は正になりうる。