連続払年金と利力

支払が連続的に行われる年金の現価。利力 $\delta$ と死力（脱退力）$\mu$ が一定なら閉形式になり、指数型の年金現価との現価一致条件を問う設問が繰り返し出る。

$\mu$ と $\delta$ が一定なら閉形式になる

脱退力が一定なら ${}_tp_x=e^{-\mu t}$ なので

$\bar a_x=\int_0^{\infty}e^{-(\mu+\delta)t}\,dt=\dfrac{1}{\mu+\delta}$

「割引する力」と「人が減る力」が足し算で合成され、その逆数が現価になる。どちらの力が強くなっても現価は同じように下がる。

有期にすると積分の上端が変わるだけ

$\bar a_{x:\angl{n}}=\dfrac{1-e^{-(\mu+\delta)n}}{\mu+\delta}$

$n\to\infty$ で $1/(\mu+\delta)$ に戻る。終身の式を有期にそのまま使わないこと。

年1回払からの近似

$\bar a_x\approx\ddot a_x-\dfrac12$。年 $m$ 回払の補正 $\dfrac{m-1}{2m}$ の $m\to\infty$ の極限である（`NEN009`）。有期・据置では $\bigl(1-D_{x+n}/D_x\bigr)$ を掛ける点も同じ。

確定年金

$\bar a_{\angl{n}}=\dfrac{1-v^{n}}{\delta}$。分母が $d$ でも $i$ でもなく $\delta$ になるのが連続の目印である。

閉形式はモデル問題の道具

$\mu$ が一定とは残存が指数分布ということで、実際の脱退残存表はそうなっていない。現価一致条件を問う設問で「等価な一定の $\mu$」を求めるときに使う道具と割り切る。

割引する力と人が減る力が足し算で合成され、その逆数が現価になる。数値例では $1/0.0698026=14.3261$。どちらの力が増えても現価は同じ向きに下がるので、感度は対称である。

(2) 脱退力を動かすと

$\mu=0.03$ なら $1/0.049803=20.08$、$\mu=0.07$ なら $1/0.089803=11.14$。

$\mu+\delta$ の逆数なので、合成した力に反比例する。

(3) 利力を予定利率で代用すると

$1/(0.05+0.02)=14.285714$。正しい $14.326108$ との差は 0.040 で、有効数字4桁の選択肢では切れない大きさである。

(4) 確定年金で近似の精度を見る

厳密 $\bar a_{\angl{3}}=\dfrac{1-v^{3}}{\delta}=\dfrac{0.057678}{0.019803}=2.9126$

近似（尾つき）$\ddot a_{\angl{3}}-0.5\times(1-v^{3})=2.941561-0.028839=2.9127$ ⇒ 差 0.0001

素で $-0.5$ すると $2.441561$ で使えない。連続でも有期には尾の補正が要る。