逓増・逓減年金

年金額が毎年一定額（または一定率）ずつ増減する年金の現価。物価スライド・段階年金の評価に用いる。一定率で増える場合は利率を実質利率に置き換えて評価できる。

$(I\ddot a)_x=\dfrac{S_x}{D_x}$

$D$ を足すと $N$、$N$ を足すと $S$。累和を1段増やすたびに「1,2,3,…」の重みが1段増える。

逓減は逓増の裏返し

$n$ 年有期で $n,n-1,\ldots,1$ と減る年金は

$(D\ddot a)_{x:\angl{n}}=(n+1)\,\ddot a_{x:\angl{n}}-(I\ddot a)_{x:\angl{n}}$

「毎年 $n+1$ 払う定額年金」から「1,2,3,… の逓増」を引くと $n,n-1,\ldots$ が残る、というだけの式である。

一定率の逓増（毎年 $j$ ずつ増える）

年金額が $1,(1+j),(1+j)^2,\ldots$ と増えるときは、$(1+j)^t$ と $v^t$ をまとめて

$i^{\prime}=\dfrac{1+i}{1+j}-1,\qquad v^{\prime}=\dfrac{1+j}{1+i}$

とし、\textbf{予定利率を $i^{\prime}$ に置き換えた定額年金}として評価する。年金額の初項は1のままでよい。

\textbf{$i^{\prime}$ は $i-j$ ではない}

$\dfrac{1+i}{1+j}-1=\dfrac{i-j}{1+j}$ なので、$i-j$ より必ず小さい。$j$ が大きいほど差は開く。$j>i$ なら $i^{\prime}<0$ で $v^{\prime}>1$ になり、割引が「増価」に変わる。表が有限なら計算はできるが、無限に続く年金では発散する。

$D$ を足すと $N$、$N$ を足すと $S$。累和を1段増やすたびに支払の重みが1段上がる。数値例では $S_{60}/D_{60}=6.290876$ が、重みを直接掛けた $1\times1+2\times0.882353+3\times0.672818+4\times0.376929$ と一致する。

(1) 一定額の逓増

$S_{60}=N_{60}+N_{61}+N_{62}+N_{63}=6{,}290.876058$

$(I\ddot a)_{60}=\dfrac{6{,}290.876058}{1{,}000}=6.290876$

直接に重みを掛けても

$1\times1.000000+2\times0.882353+3\times0.672818+4\times0.376929=6.290876$

⇒ 一致する。

(2) 逓減

$4\times1.000000+3\times0.882353+2\times0.672818+1\times0.376929=8.369624$

恒等式で検算 $\;(4+1)\times2.932100-6.290876=14.660500-6.290876=8.369624$ ⇒ 一致する。

(3) 毎年1.0パーセント逓増（$j=0.01$）

$i^{\prime}=\dfrac{1.02}{1.01}-1=0.009901$、$v^{\prime}=0.990196$

$\ddot a^{\prime}_{60}=1+0.990196\times0.9+0.990196^{2}\times0.7+0.990196^{3}\times0.4=2.965869$

定額の 2.932100 より大きい。

\textbf{(4) $i^{\prime}=i-j$ とした場合}

$i-j=0.01$ で計算すると $2.965532$。正しい 2.965869 との差は 0.000337 で、有効数字4桁の選択肢では切れない。$j$ を大きくすると差は急速に開く。