ポートフォリオの期待収益率

投資理論・公式

ひとことで言うと

複数の資産を組み合わせたポートフォリオ（資産の組み合わせ）の平均的なリターン。各資産の期待収益率を投資比率で加重平均するだけで求まる。

数式で表すと

$E[R_P] = \sum_{i} w_i E[R_i]$ （ $\sum w_i = 1$ ）

複数の資産を組み合わせたポートフォリオの期待収益率。各資産の期待収益率を投資比率で加重平均したもの。

n 種類の資産に投資比率

w_1, w_2, \ldots, w_n

（合計

\sum w_i = 1

）で投資するとき、ポートフォリオの期待収益率は

E[R_P] = \sum_{i=1}^{n} w_i E[R_i]

で計算できる。これは期待値の線形性（

E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]

）から直接導かれる。たとえば株式（期待収益率 10%）に 60%、債券（期待収益率 3%）に 40% 投資すれば、期待収益率は

0.6 \times 10\% + 0.4 \times 3\% = 7.2\%

となる。

試験に出る性質

線形性が成立する

期待収益率は投資比率の加重平均になる。分散（リスク）はこの線形性が成立しないため注意。

空売りや比率 1 超も許容

理論上は $w_i < 0$ （空売り）や $w_i > 1$ （レバレッジ）も可。ただし $\sum w_i = 1$ は常に維持。

ポートフォリオの期待収益率は各資産の間に収まる

投資比率がすべて 0 以上のとき、 $\min E[R_i] \leq E[R_P] \leq \max E[R_i]$ 。

例で見る

株式 A（期待収益率 12%）に 40%、株式 B（期待収益率 8%）に 35%、債券 C（期待収益率 3%）に 25% 投資する場合： $E[R_P] = 0.40 \times 12\% + 0.35 \times 8\% + 0.25 \times 3\% = 4.8\% + 2.8\% + 0.75\% = 8.35\%$ 。

つまずきポイント

期待収益率は加重平均で計算できるが、分散（リスク）は加重平均にならない。共分散項が加わるため、単純な加重平均より小さくなりうる（これが分散投資の効果）。
投資比率の合計が 1 であることを確認する。レバレッジ（借入投資）を使う場合は $w_i > 1$ の資産と $w_j < 0$ の安全資産が組み合わさり、合計は依然として 1。

定着クイズ

株式 A（期待収益率 10%）に 40%、株式 B（期待収益率 6%）に 60% 投資するポートフォリオの期待収益率はどれか。

ポートフォリオの期待収益率について正しい記述はどれか。

3 資産に均等（各 1/3）に投資するとき、資産の期待収益率がそれぞれ 12%、9%、6% の場合、ポートフォリオの期待収益率はいくらか。