最小分散ポートフォリオ

知識マップ

投資理論・定理

ひとことで言うと

期待収益率を固定したとき、最もリスク（分散）を小さくできる資産の組み合わせ比率。2 資産の場合は解析的に求まる公式がある。

効率的フロンティア上で最もσ（リスク）が小さい点が最小分散ポートフォリオ（赤丸）。これより下（非効率・破線）に比べ同じリスクで高いリターンが得られる。

数式で表すと

$w_1^* = \frac{\sigma_2^2 - \sigma_{12}}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\sigma_{12}}$

所与の期待収益率を達成するポートフォリオのうち分散が最小のもの。2資産の場合 w₁* = (σ₂²−σ₁₂)/(σ₁²+σ₂²−2σ₁₂)。

2 資産（資産 1 と資産 2）の場合、資産 1 への投資比率を

w_1

（

w_2 = 1 - w_1

）として分散

\sigma^2_P = w_1^2 \sigma_1^2 + 2 w_1 (1-w_1) \sigma_{12} + (1-w_1)^2 \sigma_2^2

を

w_1

で微分してゼロと置くと、最小分散を与える比率として

w_1^* = \frac{\sigma_2^2 - \sigma_{12}}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\sigma_{12}}

が得られる。この点がフロンティアの「最も左の点」（最小分散点）となる。

w_1^*

が 0〜1 の範囲に収まるとは限らず、負になる場合は空売りが必要になる。

試験に出る性質

全体のフロンティアの中で最もσが小さい点

最小分散点より期待収益率が低いポートフォリオはフロンティア上に存在するが、同じリスクでより高い収益率が取れるため「非効率」とみなされる。

$\rho = 1$ のとき最小分散点でもリスクは残る

相関係数が 1 でなければ必ず単資産保有よりリスクを下げられるが、完全正相関のときは最小分散点でも分散効果がない。

多資産の場合は数値最適化が必要

3 資産以上では行列計算（最小化問題の解）が必要になる。2 資産のみ解析解がある。

例で見る

$\sigma_1=20\%$ 、 $\sigma_2=15\%$ 、 $\sigma_{12}=0.018$ （ $\rho \approx 0.6$ ）のとき： $w_1^* = \frac{0.0225 - 0.018}{0.04 + 0.0225 - 2 \times 0.018} = \frac{0.0045}{0.0265} \approx 0.170$ 。つまり資産 1 を約 17%、資産 2 を約 83% 保有するとリスクが最小になる。

つまずきポイント

「最小分散ポートフォリオ」と「接点ポートフォリオ（シャープ比最大）」を混同しない。最小分散点は単純にリスクを最小化する点であり、必ずしも最も効率的な投資先ではない。
$w_1^*$ の公式は分子・分母ともに共分散 $\sigma_{12}$ が含まれる。相関係数 $\rho$ で代入する場合は $\sigma_{12} = \rho \sigma_1 \sigma_2$ に変換してから代入する。

定着クイズ

$\sigma_1=20\%$ , $\sigma_2=15\%$ , $\sigma_{12}=0$ （無相関）の 2 資産における最小分散ポートフォリオの資産 1 の比率として最も近い値はどれか。

最小分散ポートフォリオについて正しい記述はどれか。

2 資産の相関係数が $\rho=1$ （完全正相関）の場合、最小分散ポートフォリオについて正しい記述はどれか。