ポートフォリオの分散・共分散

投資理論・公式

ひとことで言うと

2 つの資産を組み合わせたとき、ポートフォリオのリスク（分散）は両資産の相関係数が低いほど小さくなる。これが分散投資の本質的な効果。

数式で表すと

$\sigma^2_P = \sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_{ij}$ （ $\sigma_{ij}=\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j$ ）

ポートフォリオの分散は各資産の共分散を投資比率の積で加重した二重和。2資産の場合 σ²_P = w₁²σ₁² + 2w₁w₂Cov(R₁,R₂) + w₂²σ₂²。

2 資産ポートフォリオの分散は

\sigma^2_P = w_1^2 \sigma_1^2 + 2 w_1 w_2 \sigma_{12} + w_2^2 \sigma_2^2

で表される。ここで

\sigma_{12} = \rho_{12} \sigma_1 \sigma_2

（共分散）、

\rho_{12}

は相関係数（

-1 \leq \rho \leq 1

）。 n 資産の一般式は

\sigma^2_P = \sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_{ij}

で、対角項（

i=j

）が各資産の分散、非対角項（

i \neq j

）が共分散になる。相関係数が低いほど共分散項が小さくなり、ポートフォリオの分散が各資産の分散の加重平均より小さくなる。これが「分散投資によるリスク低減効果」の数学的根拠。

試験に出る性質

$\rho = -1$ のとき完全ヘッジが可能

相関係数 $-1$ のとき、適切な比率で組み合わせるとポートフォリオの分散をゼロにできる。

$\rho = +1$ のとき分散効果はゼロ

完全に正の相関の場合、 $\sigma_P = w_1 \sigma_1 + w_2 \sigma_2$ （標準偏差の加重平均）となり、リスク低減効果がない。

$-1 < \rho < 1$ なら必ず分散効果あり

$\sigma_P < w_1 \sigma_1 + w_2 \sigma_2$ が成立し、合成後の標準偏差は各資産の加重平均より小さくなる。

例で見る

株式 A（ $\sigma_1 = 20\%$ ）に 50%、株式 B（ $\sigma_2 = 15\%$ ）に 50%、相関係数 $\rho = 0.3$ のとき： $\sigma^2_P = 0.25 \times 0.04 + 2 \times 0.5 \times 0.5 \times 0.3 \times 0.20 \times 0.15 + 0.25 \times 0.0225 = 0.01 + 0.0045 + 0.005625 = 0.020125$ 。よって $\sigma_P \approx 14.2\%$ （単純加重平均の 17.5% より小さい）。

つまずきポイント

分散（ $\sigma^2$ ）は加重平均にならない。共分散項が含まれるため、単純な加重平均より小さくなりうる（これが分散効果）。
共分散 $\sigma_{12}$ と相関係数 $\rho_{12}$ を混同しない。 $\sigma_{12} = \rho_{12} \sigma_1 \sigma_2$ の関係がある。
分散と標準偏差を混同しない。問題で「リスク」と言う場合は標準偏差（ $\sigma$ ）を指すことが多い。

定着クイズ

2 資産（ $\sigma_1=20\%$ , $\sigma_2=10\%$ , $\rho_{12}=0$ ）に 50% ずつ投資するポートフォリオの標準偏差に最も近い値はどれか。

相関係数 $\rho_{12} = -1$ の 2 資産で適切な比率に組み合わせると、ポートフォリオの分散はどうなるか。

2 資産ポートフォリオの分散の公式として正しいものはどれか（ $w_1 + w_2 = 1$ ）。