一時払純保険料と年金現価の関係・再帰式

終身保険の一時払純保険料$A_x$と年金現価$\ddot a_x$の恒等関係、および年金現価の再帰式。給付現価計算の相互変換と逐次計算に用いる。

これは「1円を今もらう（現価1）」＝「毎年 $d$ 円の利息を生きている間もらい、死亡時に元本1をもらう」という分解から出る。したがって $A_x$ と $\ddot a_x$ はどちらか一方が分かればもう一方が求まる（有期・養老でも同型の $A_{x:\angl{n}}=1-d\,\ddot a_{x:\angl{n}}$ が成り立つ）。

さらに、年金現価・保険現価には隣の年齢とつなぐ再帰式がある。

$\ddot a_x=1+v\,p_x\,\ddot a_{x+1}$ $A_x=v\,q_x+v\,p_x\,A_{x+1}$

後者は「今年死ねば（確率 $q_x$）年度末に1を割り引いて $vq_x$、生き残れば（確率 $p_x$）翌年以降の保険 $A_{x+1}$ を割り引く」という意味である。$A_x$ と $A_{x+1}$（または $\ddot a_x$ と $\ddot a_{x+1}$）が与えられて $p_x$ を逆算する問題は、この再帰式を $p_x$ について解けばよい。

$A_x=1-d\,\ddot a_x=1-0.047619\times4.29711=0.79538$

と一時払純保険料が求まる。

再帰式で $p_x$ を逆算：$A_x=0.8499,\ A_{x+1}=0.8573,\ i=0.015$（$v=1/1.015$）とする。再帰式 $A_x=v\,q_x+v\,p_x\,A_{x+1}=v\{1-p_x(1-A_{x+1})\}$ を $p_x$ について解くと

$p_x=\dfrac{1-A_x/v}{1-A_{x+1}}=\dfrac{1-0.8499\times1.015}{1-0.8573}=0.96252$

すなわち $q_x=0.03748$ となる。