逓増・逓減保険

死亡保険金が毎年増加（逓増）または減少（逓減）する保険の一時払純保険料。計算基数$R,M$を用いて閉形式で表す。連続型もある。

$(IA)^1_{x:\angl{n}}=\dfrac{R_x-R_{x+n}-n\,M_{x+n}}{D_x}$

逓減保険（毎年1ずつ減少）

$n$ 年逓減定期保険（$t$ 年目の死亡で $n-t+1$ を支払う）は

$(DA)^1_{x:\angl{n}}=\dfrac{n\,M_x-(R_{x+1}-R_{x+n+1})}{D_x}$

いずれも、定義に戻れば「各年の給付額 × その年に死亡する確率の現価」の和である。

$(IA)^1_{x:\angl{n}}=\sum_{t=1}^{n} t\,v^{t}\,{}_{t-1}p_x\,q_{x+t-1}$

覚えておくと強力なのが逓増と逓減の和の恒等式である。ある年に死亡したときの給付は、逓増側が $t$、逓減側が $n-t+1$ なので、足すと必ず $n+1$ になる。したがって

$(IA)^1_{x:\angl{n}}+(DA)^1_{x:\angl{n}}=(n+1)\,A^1_{x:\angl{n}}$

が成り立つ。片方を求めれば、もう片方は $(n+1)A^1$ からの引き算で出せる。

逓増定期（1,2,3を支払）：

$(IA)^1_{x:\angl{3}}=\dfrac{1\cdot C_x+2\cdot C_{x+1}+3\cdot C_{x+2}}{D_x}=\dfrac{19.05+53.33+98.54}{1000}=0.17092$

逓減定期（3,2,1を支払）：

$(DA)^1_{x:\angl{3}}=\dfrac{3\cdot C_x+2\cdot C_{x+1}+1\cdot C_{x+2}}{D_x}=\dfrac{57.14+53.33+32.85}{1000}=0.14332$

和は $0.17092+0.14332=0.31424$。一方 $(n+1)A^1_{x:\angl{3}}=4\times0.07857=0.31428$ で、丸め誤差の範囲で一致している（恒等式 $(IA)^1+(DA)^1=(n+1)A^1$ の確認）。