保険金現価の分散

確率変数としての保険金現価$Z$の分散。2倍利力での一時払純保険料${}^2A_x$を用いて計算し、リスク評価・責任準備金の分散に接続する。

分散の計算には利力2倍の記号 ${}^2A_x$ を使う。$Z^2=(v^{K+1})^2=(v^2)^{K+1}$ なので、$Z^2$ の期待値は「割引率を $v^2$ に置き換えた保険」、すなわち利率を $1+j=(1+i)^2$ とした一時払純保険料 ${}^2A_x$ に等しい。したがって

$\sigma^{2}(Z)=E[Z^2]-(E[Z])^2={}^2A_x-(A_x)^2$

有期・養老でも同型で ${}^2A_{x:\angl{n}}-(A_{x:\angl{n}})^2$ となる。

保険種類による分散の大小

・養老保険：死亡でも満期でも $1$ を受け取るので、$Z$ は「いつ受け取るか」の違いしかなく値が $1$ の近くに集まる。分散は小さい。 ・定期保険：期間内に死亡すれば給付、生存すれば $0$。$Z$ が $0$ と給付額に大きく分かれるため、分散は相対的に大きい。

同じ期待現価でも、給付の「確実さ」で分散が大きく変わる。責任準備金の分散やリスク評価に接続する基本量である。

養老保険：$A_{x:\angl{3}}=0.86688$ に対し ${}^2A_{x:\angl{3}}=0.75168$。

$\sigma^{2}(Z)=0.75168-0.86688^2=0.75168-0.75148=0.00020$

給付がほぼ確実なため分散はごく小さい（標準偏差 $\approx0.014$）。

定期保険：$A^1_{x:\angl{3}}=0.07857$ に対し ${}^2A^1_{x:\angl{3}}=0.07070$。

$\sigma^{2}(Z)=0.07070-0.07857^2=0.07070-0.00617=0.06453$

同じ3年でも、$0$ と給付に分かれる定期保険の分散は養老よりはるかに大きい（標準偏差 $\approx0.254$）。