吸収確率

吸収状態へ到達する確率。非対称ランダムウォークでは比 $q/p$ のべきで表せる。

導出は差分方程式から行います。出発点 $i$ から1歩進むと、確率 $p$ で $i+1$ から、確率 $q$ で $i-1$ から続きを始めるので $P_i=p\,P_{i+1}+q\,P_{i-1}\quad(0<i<N),\qquad P_0=0,\ P_N=1$ が成り立ちます（境界条件は、$0$ に着いたら到達確率0＝破産済み、$N$ に着いたら到達確率1＝達成済み）。この漸化式の一般解は、特性方程式 $p\,r^2-r+q=0$ の2解 $r=1,\ r=q/p$ を使って $P_i=A+B(q/p)^i$ の形になります（$p\ne q$ のとき2解は相異なる）。境界条件 $P_0=0,\ P_N=1$ を当てはめて係数 $A,B$ を決めると、上の公式が得られます。

整合性チェックとして、$p=q=1/2$ に近づける極限を考えると、比 $q/p\to1$ となり公式は $0/0$ の不定形になります。$r=q/p$ として $r\to1$ の極限を丁寧に取る（または最初から特性方程式が重解 $r=1$ をもつ場合として解き直す）と、ちょうど ランダムウォークの $P_i=i/N$ に一致します。つまり公正な場合は不公正な場合の特別な極限になっており、2つの式は矛盾しません。なお $p<q$（1歩ごとに不利＝平均して下に流される賭け）のときは $q/p>1$ なので、図のように $P_i$ は下に凸の曲線となり、出発点が低いほど目標 $N$ への到達確率が急激に小さくなります。

$P_2=\dfrac{1-1.5^2}{1-1.5^4}=\dfrac{1-2.25}{1-5.0625}=\dfrac{-1.25}{-4.0625}\approx0.308$。

公正な賭けなら $P_2=2/4=0.5$ だが、不利な賭けでは到達確率が下がる。