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吸収確率

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モデリング・公式

ひとことで言うと

ランダムウォーク（concept: ランダムウォーク）で、上端 NN（目標達成）か下端 00（破産）のどちらかに先に到達する確率を求めるのが吸収確率です。公正な賭けでは出発点に比例した単純な式でしたが、不公正な場合は比 q/pq/p のべきを使った式になります。

出発点iに対する上端Nへの到達（吸収）確率P_i。公正な場合は直線i/N、不公正な場合（q>p）は下に凸の曲線になる出発点iからNへ到達する確率。公正は直線、不公正は曲線05N公正 i/N不公正(q>p)P_i出発点 i

出発点 ii に対する上端 NN への到達（吸収）確率 PiP_i。公正な場合は直線 i/Ni/N、不公正な場合（q>pq>p、不利な賭け）は下に凸の曲線になり、出発点が低いと到達確率がぐっと下がる。

数式で表すと

Pi=1−(q/p)i1−(q/p)NP_i=\dfrac{1-(q/p)^i}{1-(q/p)^N}

吸収状態へ到達する確率。非対称ランダムウォークでは比 q/pq/p のべきで表せる。

吸収確率は、各ステップで +1+1 を確率 pp、−1-1 を確率 q=1−pq=1-p で動くランダムウォークが、上端 NN（吸収壁、目標達成）に下端 00（吸収壁、破産）より先に到達する確率 PiP_i（出発点 ii）です。concept: ランダムウォークでは公正な場合 p=q=1/2p=q=1/2 の到達確率 Pi=i/NP_i=i/N と期待ステップ数 E[T]=i(N−i)E[T]=i(N-i) までを扱い、「不公正な場合はより複雑な式になる」として終わっていました。ここではその続きとして、不公正な場合 p≠qp\ne q の一般公式 Pi=1−(q/p)i1−(q/p)NP_i=\dfrac{1-(q/p)^i}{1-(q/p)^N} を導きます。 導出は差分方程式から行います。出発点 ii から1歩進むと、確率 pp で i+1i+1 から、確率 qq で i−1i-1 から続きを始めるので Pi=p Pi+1+q Pi−1(0<i<N),P0=0, PN=1P_i=p\,P_{i+1}+q\,P_{i-1}\quad(0<i<N),\qquad P_0=0,\ P_N=1 が成り立ちます（境界条件は、00 に着いたら到達確率0＝破産済み、NN に着いたら到達確率1＝達成済み）。この漸化式の一般解は、特性方程式 p r2−r+q=0p\,r^2-r+q=0 の2解 r=1, r=q/pr=1,\ r=q/p を使って Pi=A+B(q/p)iP_i=A+B(q/p)^i の形になります（p≠qp\ne q のとき2解は相異なる）。境界条件 P0=0, PN=1P_0=0,\ P_N=1 を当てはめて係数 A,BA,B を決めると、上の公式が得られます。 整合性チェックとして、p=q=1/2p=q=1/2 に近づける極限を考えると、比 q/p→1q/p\to1 となり公式は 0/00/0 の不定形になります。r=q/pr=q/p として r→1r\to1 の極限を丁寧に取る（または最初から特性方程式が重解 r=1r=1 をもつ場合として解き直す）と、ちょうど concept: ランダムウォークの Pi=i/NP_i=i/N に一致します。つまり公正な場合は不公正な場合の特別な極限になっており、2つの式は矛盾しません。なお p<qp<q（1歩ごとに不利＝平均して下に流される賭け）のときは q/p>1q/p>1 なので、図のように PiP_i は下に凸の曲線となり、出発点が低いほど目標 NN への到達確率が急激に小さくなります。

試験に出る性質

不公正な場合の公式

Pi=1−(q/p)i1−(q/p)NP_i=\dfrac{1-(q/p)^i}{1-(q/p)^N}（p≠qp\ne q）。上端 NN に先に到達する確率。

差分方程式

Pi=pPi+1+qPi−1P_i=pP_{i+1}+qP_{i-1}、境界 P0=0, PN=1P_0=0,\ P_N=1。1歩先で場合分けして立てる。

一般解の形

特性方程式 pr2−r+q=0pr^2-r+q=0 の解 r=1, q/pr=1,\ q/p から Pi=A+B(q/p)iP_i=A+B(q/p)^i。境界条件で係数決定。

公正な場合への一致

p=q=1/2p=q=1/2 の極限で q/p→1q/p\to1 となり、concept: ランダムウォークの Pi=i/NP_i=i/N に一致する。

不利な賭けの形

p<qp<q（q/p>1q/p>1）では PiP_i は下に凸。出発点が低いと到達確率が急落し、破産しやすい。

例で見る

N=4N=4、出発点 i=2i=2、各ステップで上がる確率 p=0.4p=0.4（q=0.6q=0.6、q/p=1.5q/p=1.5）のとき、上端 44 に先に到達する確率は P2=1−1.521−1.54=1−2.251−5.0625=−1.25−4.0625≈0.308P_2=\dfrac{1-1.5^2}{1-1.5^4}=\dfrac{1-2.25}{1-5.0625}=\dfrac{-1.25}{-4.0625}\approx0.308。 公正な賭けなら P2=2/4=0.5P_2=2/4=0.5 だが、不利な賭けでは到達確率が下がる。

つまずきポイント

  • 公正な場合（p=qp=q）に不公正の公式をそのまま代入する（q/p=1q/p=1 で 0/00/0 になる。公正なら Pi=i/NP_i=i/N を使う）
  • pp と qq、または比 q/pq/p と p/qp/q を取り違える（上端到達の式は q/pq/p のべき。向きの確認を）
  • 境界条件 P0=0, PN=1P_0=0,\ P_N=1 を逆に置く（00 は破産で到達確率0、NN は達成で到達確率1）

定着クイズ

不公正なランダムウォーク（p≠qp\ne q）で上端 NN に先に到達する確率 PiP_i は？

吸収確率の差分方程式の境界条件は？

p=q=1/2p=q=1/2 の極限で不公正の公式はどうなる？

関連：#マルコフ連鎖#ランダムウォーク#吸収

この用語を扱う問題（3）