周期

計算の手順を、2つの例で具体的に追います。まず周期的な例 $P=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$（状態0と1を確率1で交互に推移）。状態0から出発して0に戻るには、$0\to1\to0$ のように必ず偶数歩かかります。1歩では戻れない（$P_{00}=0$）、2歩では戻れる（$P^2_{00}=1$）、3歩は不可、4歩は可…と続くので、戻れる歩数の集合は $\{2,4,6,\dots\}$ です。その最大公約数は $d(0)=\gcd\{2,4,6,\dots\}=2$。よってこの連鎖は周期2で、非周期ではありません。これが極限分布で $P^n$ が $I$ と $P$ を往復して収束しなかった原因そのものです。

次に非周期な例 $P=\begin{pmatrix}0.7&0.3\\0.4&0.6\end{pmatrix}$。状態0には自己ループ $P_{00}=0.7>0$ があるので、1歩で戻れます（$P^1_{00}=0.7>0$）。さらに2歩でも3歩でも戻れる（$P^2_{00},P^3_{00}$ いずれも正）ので、戻れる歩数の集合は $\{1,2,3,\dots\}$、その最大公約数は $d(0)=\gcd\{1,2,3,\dots\}=1$ で非周期です。判定の実用的なコツは、自己ループ $P_{ii}>0$ が1つでもあれば「1歩で戻れる」ので即座に $d(i)=1$（非周期）が確定する、という点です。一般に、既約な連鎖では全状態の周期が一致するので、代表として1状態を調べれば足ります。周期が1（非周期）なら極限分布が存在して定常分布に収束し、周期が2以上なら振動して極限分布は存在しない——この判定が、マルコフ連鎖の長期挙動を見抜く出発点になります。

$d(0)=\gcd\{2,4,6,\dots\}=2$ で周期2（非周期ではない）。

非周期例 $P=\begin{pmatrix}0.7&0.3\\0.4&0.6\end{pmatrix}$：自己ループ $P_{00}=0.7>0$ なので1歩で戻れる。

戻れる歩数は $\{1,2,3,\dots\}$ で $d(0)=\gcd\{1,2,3,\dots\}=1$（非周期）。$d=1$ なので極限分布が存在する。