エルゴード性

既約・非周期な連鎖で長期割合が定常分布に等しくなる性質。

この違いが最もはっきり出るのが、極限分布で使ったのと同じ周期2の反例です。$P=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ は状態0と1を確率1で交互に行き来します。極限分布で見たとおり $P^n_{00}$ は偶数で1・奇数で0と振動し、直接の極限は存在しませんでした。ところが時間平均で見ると話が変わります。状態0から出発すると、訪れる状態は $0,1,0,1,0,1,\dots$ と並び、$n$ ステップのうち状態0にいる割合は $n$ が大きくなるにつれ $1/2$ に収束します。これは定常分布 $\pi_0=0.5$ にぴたりと一致します。つまり「一時点の分布は収束しない（極限分布は無い）のに、時間平均はちゃんと $\pi$ に一致する」——この対比こそが、エルゴード性を極限分布と別建てで学ぶ価値です。

非周期な比較例 $P=\begin{pmatrix}0.7&0.3\\0.4&0.6\end{pmatrix}$（$\pi=(4/7,3/7)$）では、極限分布が存在するうえに時間平均も当然 $\pi$ に一致するので、両者の区別が見えにくくなります。だからこそ周期例が教育的なのです。一般に、既約で正再帰的な（有限状態なら既約なだけで十分な）連鎖はエルゴード的で、時間平均は初期状態によらず $\pi$ に一致します。非周期性は極限分布には必須ですが、時間平均の収束（エルゴード性）には不要だ、というのが重要な含意です。実務的には、シミュレーションで $\pi$ を推定するとき、長く1本走らせて滞在割合を数える（時間平均をとる）という方法が正当化される根拠がエルゴード性です。MCMC（マルコフ連鎖モンテカルロ）が成り立つ理論的支柱でもあります。

$n$ ステップ中に状態0にいる割合は $n\to\infty$ で $1/2$ に収束し、定常分布 $\pi_0=0.5$ に一致する（エルゴード性）。

一方、同じ連鎖で直接の極限 $P^n_{00}$ は偶数で1・奇数で0と振動し存在しない（極限分布の不在）。

極限分布が無くても時間平均は $\pi$ に一致する、という対比がエルゴード性の要点。