定常分布

モデリング・用語

ひとことで言うと

マルコフ連鎖を長時間動かしたときに行き着く、もう変化しない分布です。今その分布にいれば、1ステップ進めても同じ分布のままという性質（πP=π）をもちます。

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マルコフ連鎖（concept: マルコフ連鎖）の長期的な振る舞いを記述する分布で、初期状態に依存しない「落ち着き先」を表します。

マルコフ連鎖が長時間後に落ち着く分布π。πP=πを満たし、推移を1ステップ進めても同じ分布のまま。

$\pi P=\pi,\ \textstyle\sum\pi_i=1$

$\pi P=\pi$ を満たす不変分布。生死過程では詳細釣り合いで解ける。

定常分布πは、推移行列Pに対して

\pi P=\pi

、かつ

\sum_i \pi_i=1

を満たす確率分布です。この分布にいる状態で1ステップ推移させても、出てくる分布は元のπと変わりません。既約性（すべての状態が互いに到達可能）と非周期性などの条件を満たすマルコフ連鎖では、初期分布に関係なく時間が経つと分布はこの定常分布πに収束します（

P^{(n)}\to\pi

n\to\infty

）。特に出生死亡過程（生死過程）のような特殊な構造をもつマルコフ連鎖では、詳細釣り合い（隣り合う状態間の流入・流出の釣り合い）の条件を使うと、連立方程式を解かずに定常分布を求めることができます。状態数が少ない場合は、πP=πとΣπi=1の連立方程式を直接解くのが基本です。

定義

$\pi P=\pi,\ \sum_i\pi_i=1$ 。

収束

既約・非周期などの条件下で初期分布に関わらずπに収束する。

求め方（一般）

$\pi P=\pi$ と $\sum\pi_i=1$ の連立方程式を解く。

求め方（生死過程）

詳細釣り合いの式を使うと簡単に解ける。

解釈

長時間後の各状態にいる確率（時間平均的な滞在割合とも解釈できる）。

2状態(A,B)で推移確率P(A→B)=0.3, P(B→A)=0.4のとき、詳細釣り合い $\pi_A\times0.3=\pi_B\times0.4$ と $\pi_A+\pi_B=1$ を解くと $\pi_A=4/7,\ \pi_B=3/7$ 。

定常分布πが満たす条件は？

定常分布に収束するために一般に必要な条件は？

生死過程で定常分布を簡単に求める方法は？

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