定常分布

モデリング・用語・マルコフ連鎖

ひとことで言うと

マルコフ連鎖を長時間動かしたときに行き着く、もう変化しない分布です。今その分布にいれば、1ステップ進めても同じ分布のままという性質（πP=π）をもちます。

保険契約者の長期的な状態（継続・解約）の割合信用格付けの長期的な分布ウェブページのアクセス頻度の長期分布（PageRankの考え方）生死過程の長期的な個体数分布在庫状態の長期的な割合

マルコフ連鎖の長期的な振る舞いを記述する分布で、初期状態に依存しない「落ち着き先」を表します。

マルコフ連鎖が長時間後に落ち着く分布π。πP=πを満たし、推移を1ステップ進めても同じ分布のまま。

\pi P=\pi,\ \textstyle\sum\pi_i=1

$\pi P=\pi$

定常分布πは、推移行列Pに対して $\pi P=\pi$ 、かつ $\sum_i \pi_i=1$ を満たす確率分布です。この分布にいる状態で1ステップ推移させても、出てくる分布は元のπと変わりません。

既約性（すべての状態が互いに到達可能）と非周期性などの条件を満たすマルコフ連鎖では、初期分布に関係なく時間が経つと分布はこの定常分布πに収束します（

定義

$\pi P=\pi,\ \sum_i\pi_i=1$ 。

2状態(A,B)で推移確率P(A→B)=0.3, P(B→A)=0.4のとき、詳細釣り合い $\pi_A\times0.3=\pi_B\times0.4$ と $\pi_A+\pi_B=1$

定常分布πが満たす条件は？

定常分布に収束するために一般に必要な条件は？

生死過程で定常分布を簡単に求める方法は？