完全年金

生保数理・公式・純保険料・年金現価

ひとことで言うと

「死亡した年の途中まで生きたぶん」を按分して最後に払う年金。ふつうの期末払年金 $a_x$ に、死亡年度の端数ぶん（平均して半年ぶん $\approx\tfrac12\bar A_x$ ）を足したもの。連続払年金にとても近いが、完全年金のほうがわずかに小さい。

完全年金 å は期末払 a に死亡年度の端数（≈½Ā）を足したもの。連続払 ā（≈a+½）よりわずかに小さく、a＜å＜ā＜ä の順になる。

\mathring a_{x:\angl{n}}=a_{x:\angl{n}}+\sum_{t=0}^{n-1}\int_0^{1}s\,v^{t+s}\,{}_{t+s}p_x\,\mu_{x+t+s}\,ds\ \approx\ a_{x:\angl{n}}+\tfrac12\,\bar A^{1}_{x:\angl{n}}

完全年金は、期末払年金 $a_x$ を基本にしつつ、死亡した年度について「その年に生きていた期間ぶん」を按分して最後に支払う年金である。年1回の期末払だと死亡年度の途中経過が切り捨てられるが、完全年金はその端数を精算する。

死亡が年度のどこで起きるかを一様（UDD）とみなすと、按分される端数は平均して半年ぶん、その現価は $\tfrac12\bar A_x$

完全年金は期末払＋死亡年度の端数按分

$\mathring a_x\approx a_x+\tfrac12\bar A_x$

de Moivre の死亡法則（最終年齢まで一様に死亡、 $\omega-x=40$ 、 $i=0.05$ ）で数値を作ると、

・期末払年金 $a_x=10.99$

完全年金 å_x の近似式として正しいものはどれか（a_x は期末払年金、Ā_x は連続払終身保険）。

完全年金 å_x と連続払年金 ā_x の大小関係として正しいものはどれか。

4種の年金現価 a_x（期末払）, å_x（完全）, ā_x（連続払）, ä_x（期始払）を小さい順に正しく並べたものはどれか。