定常人口における被保険者数分布

定常状態での年齢別被保険者数。加入年齢 $a$・定年 $r$ の制度で毎年 $l_a$ 人が加入するなら、年齢 $x$ の人数は $l_x$ に比例し、総数は $\sum_{x=a}^{r-1}l_x$ になる。

であり、制度全体の被保険者数は

$L=\displaystyle\sum_{x=x_e}^{x_r-1}L_x=A\,\dfrac{1}{l_{x_e}}\sum_{x=x_e}^{x_r-1}l_x$

になる。ここで

$\varepsilon_x=\dfrac{1}{l_x}\displaystyle\sum_{y=x}^{x_r-1}l_y$

とおくと $L=A\,\varepsilon_{x_e}$ と1行で書けるので、逆に

$A=\dfrac{L}{\varepsilon_{x_e}}$

で新規加入者数が求まる。

$\varepsilon_x$ は在職年数の期待値である

$\varepsilon_x$ は「$x$ 歳の人が定年までに在職する年数の期待値」に等しい。数え上げの順序を入れ替えるだけで出るので、覚え直す必要はない。本試験は 2021 年度が $\varepsilon_x$、2023 年度が $e_x$ と同じ量を別の記号で置いているので、記号ではなく定義式で読むこと。

加入年齢が複数ある場合

年齢 $x_1$ と $x_2$ に $\alpha_1:\alpha_2$ の割合で加入があるなら、$x_1$ 歳の新規加入者数は

$A_{x_1}=\dfrac{\alpha_1 L}{\alpha_1\varepsilon_{x_1}+\alpha_2\varepsilon_{x_2}}$

になる。分母が割合で重みづけした和になるところが要点で、3つ以上でも同じ形が続く。

・制度全体の被保険者数は $L=2{,}700$ 人

（1）在職年数の期待値から新規加入者数を出す

$\varepsilon_{57}=\dfrac{1{,}000+900+800}{1{,}000}=2.7$

なので $A=\dfrac{2{,}700}{2.7}=1{,}000$ 人。57歳で加入した人は平均 2.7 年在職する、と読んでもよい。

（2）加入年齢が2つある場合（2021年度問題2(1)を参考にした例）

加入年齢が 57 歳と 58 歳で、割合が $3:1$ だったとする。$\varepsilon_{58}=\dfrac{900+800}{900}=1.888\ldots$ なので

$A_{57}=\dfrac{3\times2{,}700}{3\times2.7+1\times1.8889}=\dfrac{8{,}100}{9.9889}=810.9$ 人

となる。加入年齢が上がるほど $\varepsilon$ が小さくなるので、同じ総人数を維持するのに必要な新規加入者数は増える。

（3）割合が3対2対1の場合

加入年齢が3つで割合が $3:2:1$ なら、いちばん若い年齢の新規加入者数は

$A_{x_1}=\dfrac{3L}{3\varepsilon_{x_1}+2\varepsilon_{x_2}+\varepsilon_{x_3}}$

になる。分子の $3$ と分母の重み $3,2,1$ が同じ割合であることを確認すれば、選択肢の取り違えは起きない。