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平均年齢と脱退時平均年齢とは｜定義・公式とアクチュアリー試験の関連問題 | acpass
年金数理・公式・定常人口と人員構成
ひとことで言うと 被保険者の年齢の重心が平均年齢、出口の年齢の重心が脱退時平均年齢。この2つは同じ脱退残存表から出るので、片方が分かればもう片方も決まり、差から制度の形が読める。
一次式の脱退残存表を台形で描き、被保険者の平均年齢と脱退時平均年齢の位置を縦線で示した図。台形の右端に定年退職者の一括脱退があることを強調している。 lₓ = 150 − 2x（30歳加入・60歳定年） 30 60 90 30 42.5 50.0 右端の帯 lₓᵣ = 30 が定年退職者。これを落とすと 45.0 になる 緑＝平均年齢 42.5 ／ 橙＝脱退時平均年齢 50.0 拡大 一次式の脱退残存表では、平均年齢は台形の重心、脱退時平均年齢は出口の重心になる。右端の縦帯が定年退職者で、これを数えるかどうかで脱退時平均年齢が5歳変わる。
数式で表すと x ˉ = ∑ x = a r − 1 x l x ∑ x = a r − 1 l x , x ˉ d = ∑ x = a r − 1 ( x + 1 2 ) d x + r l r ∑ x = a r − 1 d x + l r \bar x=\dfrac{\sum_{x=a}^{r-1}x\,l_x}{\sum_{x=a}^{r-1}l_x},\quad \bar x^{\,d}=\dfrac{\sum_{x=a}^{r-1}(x+\tfrac12)\,d_x+r\,l_r}{\sum_{x=a}^{r-1}d_x+l_r} x ˉ = ∑ x = a r − 1 l x ∑ x = a r − 1 x l x , x ˉ d = ∑ x = a r − 1 d x + l r ∑ x = a r − 1 ( x + 2 1 ) d x + r l r
被保険者の 平均年齢 x ˉ \bar x x ˉ と 脱退時平均年齢 x ˉ d \bar x^{\,d} x ˉ d は、どちらも同じ脱退残存表から出る加重平均である。
x ˉ = ∫ x e x r x l x d x ∫ x e x r l x d x \bar x=\dfrac{\displaystyle\int_{x_e}^{x_r}x\,l_x\,dx}{\displaystyle\int_{x_e}^{x_r}l_x\,dx} x ˉ = ∫ x e x r l x d x ∫ x e x r x l x d x
試験に出る性質 10年中4年・20点。同じ論点を新規加入者数の変更側から問う4問を足すと8年40点になる
2016年度問題1(1)・2019年度問題1(1)・2023年度問題1(2)・2024年度問題1(2) の4問がこの概念を主題にしており、いずれも5点で計20点。新規加入者数や最終年齢を変えた t t t 年後の平均年齢を問う4問（2017年度問題1(1)・2020年度問題1(1)・2022年度問題1(1)・2025年度問題1(2)）は主題が新規加入見込のほうだが道具は同じで、合わせると10年中8年・40点になる。単元「定常人口と人員構成」全体は81点である。
定年退職者は脱退時平均年齢の分子と分母の両方に入る
l x r > 0 l_{x_r}>0 l x r > 0
例で見る ＜計算の前提＞
・B1〜B6 のトイモデルは在職が3年しかなく、この論点の差が数値に出ない。そこで このページだけ 、本試験と同じ連続形の脱退残存表に読み替える
・加入年齢 30 歳、定年年齢 60 歳、 l x = 150 − 2 x l_x=150-2x l x = 150 − 2 x （ 30 ≤ x ≤ 60 30\le x\le60 30 ≤ x ≤ 60
つまずきポイント 脱退時平均年齢で定年退職者を数えない。中途脱退の密度 − l x ′ -l_x' − l x ′ だけを積分すると分母が l x e − l x r l_{x_e}-l_{x_r} l x e − l x r 定着クイズ Q1 加入年齢 30 歳・定年年齢 60 歳の定常人口で、 l x = 150 − 2 x l_x=150-2x l x = 150 − 2 x （ 30 ≤ x ≤ 60 30\le x\le60 30 ≤ x ≤ 60 、連続的に推移する）とする。この制度の被保険者の平均年齢に最も近いものはどれか。
A. 40.0 歳 B. 42.5 歳 C. 45.0 歳 D. 50.0 歳
Q2 l x r > 0 l_{x_r}>0 l x r > 0 の定常人口で脱退時平均年齢を求めるとき、定年退職者の扱いとして正しいものはどれか。
A. 分子にだけ加える（分母は中途脱退者数のままにする） B. 分母にだけ加える（分子は中途脱退の積分のままにする） C. 分子と分母の両方に加える（定年退職も脱退の一種である） D. どちらにも加えない（定年退職は脱退ではなく満了である）
Q3 定常人口の制度で、ある年度から新規加入者数が 0.5 倍になった。この変更が被保険者の平均年齢に与える影響として正しいものはどれか。
A. 若い年齢帯だけが薄くなるので平均年齢は上がる B. 若い年齢帯だけが薄くなるので平均年齢は下がる C. 全年齢が同じ割合で薄くなるので平均年齢は変わらない D. 高い年齢帯だけが薄くなるので平均年齢は下がる
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定常人口の被保険者の平均年齢と、脱退する人の平均年齢。どちらも人数を重みにした加重平均で、両者の差から脱退率や最終年齢を逆算させる設問に使う。
x ˉ d = ∫ x e x r x ( − l x ′ ) d x + x r l x r ∫ x e x r ( − l x ′ ) d x + l x r \bar x^{\,d}=\dfrac{\displaystyle\int_{x_e}^{x_r}x\,(-l_x')\,dx+x_r\,l_{x_r}}{\displaystyle\int_{x_e}^{x_r}(-l_x')\,dx+l_{x_r}} x ˉ d = ∫ x e x r ( − l x ′ ) d x + l x r ∫ x e x r x ( − l x ′ ) d x + x r l x r
− l x ′ -l_x' − l x ′ は中途脱退の密度で、 l x r l_{x_r} l x r は 定年退職者 である。定年退職も脱退なので、分子と分母の両方に入る。 l x r > 0 l_{x_r}>0 l x r > 0 なのにこれを落とすと、脱退時平均年齢は必ず 低く 出る。
本試験は l x l_x l x を年齢の一次式で与えてくる。 l x = c ( x r − x ) l_x=c\,(x_r-x) l x = c ( x r − x ) のように 最終年齢で0になる 形なら、積分するまでもなく
x ˉ = 2 x e + x r 3 \bar x=\dfrac{2x_e+x_r}{3} x ˉ = 3 2 x e + x r 、 x ˉ d = x e + x r 2 \bar x^{\,d}=\dfrac{x_e+x_r}{2} x ˉ d = 2 x e + x r 、 x ˉ d − x ˉ = x r − x e 6 \bar x^{\,d}-\bar x=\dfrac{x_r-x_e}{6} x ˉ d − x ˉ = 6 x r − x e
になる。 l x r > 0 l_{x_r}>0 l x r > 0 の場合はこの形が崩れるので、定年退職者を別に足して数える。
脱退率が全年齢で q q q 一定と与えられたときは l x = ( 1 − q ) x − x e l_x=(1-q)^{\,x-x_e} l x = ( 1 − q ) x − x e なので、和は等比数列の和になる。出題者は ( 1 − q ) x r − x e (1-q)^{\,x_r-x_e} ( 1 − q ) x r − x e をそのまま諸数値として配ってくるので、 配られた冪の指数から加入年齢が読める 。
新規加入者数や脱退率を変えた場合、 t t t 年後は年齢 x e ≤ x ≤ x e + t x_e\le x\le x_e+t x e ≤ x ≤ x e + t が新しい前提、 x e + t < x ≤ x r x_e+t<x\le x_r x e + t < x ≤ x r が古い前提になる。それぞれで積分して分子どうし・分母どうしを足すだけでよい。
のとき、定年退職者は年齢
でまとめて脱退する。中途脱退だけで平均をとると必ず低く出る。上の例では 50.0 歳が 45.0 歳になり、5歳のずれが生じる。
l x l_x l x が一次式で l x r = 0 l_{x_r}=0 l x r = 0 なら公式が閉じる
x ˉ = ( 2 x e + x r ) / 3 \bar x=(2x_e+x_r)/3 x ˉ = ( 2 x e + x r ) /3 、 x ˉ d = ( x e + x r ) / 2 \bar x^{\,d}=(x_e+x_r)/2 x ˉ d = ( x e + x r ) /2
制度変更から t t t 年後は年齢で新旧を切って貼り合わせる
年齢 x e ≤ x ≤ x e + t x_e\le x\le x_e+t x e ≤ x ≤ x e + t が新しい前提、 x e + t < x ≤ x r x_e+t<x\le x_r x e + t < x ≤ x r が古い前提。分子どうし・分母どうしを足して1つの加重平均にする。2017年度・2020年度・2022年度・2025年度の4問がこの形である。
脱退率が一定と与えられたら等比数列の和になる
l x = ( 1 − q ) x − x e l_x=(1-q)^{\,x-x_e} l x = ( 1 − q ) x − x e なので和は等比数列の和。出題者は ( 1 − q ) x r − x e (1-q)^{\,x_r-x_e} ( 1 − q ) x r − x e を諸数値として配ってくるので、配られた冪の指数を定年年齢から引けば加入年齢が読める。2019年度問題1(1)・2023年度問題1(2)がこの形。
）、連続的に推移する
・したがって l 30 = 90 l_{30}=90 l 30 = 90 、 l 60 = 30 l_{60}=30 l 60 = 30
∫ 30 60 ( 150 − 2 x ) d x = 1,800 \displaystyle\int_{30}^{60}(150-2x)\,dx=1{,}800 ∫ 30 60 ( 150 − 2 x ) d x = 1 , 800
∫ 30 60 x ( 150 − 2 x ) d x = 76,500 \displaystyle\int_{30}^{60}x\,(150-2x)\,dx=76{,}500 ∫ 30 60 x ( 150 − 2 x ) d x = 76 , 500
x ˉ = 76,500 1,800 = 42.5 \bar x=\dfrac{76{,}500}{1{,}800}=42.5 x ˉ = 1 , 800 76 , 500 = 42.5 歳
中途脱退の密度は − l x ′ = 2 -l_x'=2 − l x ′ = 2 で一定なので、中途脱退者は 2 × 30 = 60 2\times30=60 2 × 30 = 60 人、その平均年齢は区間の中点の 45 歳。定年退職者は l 60 = 30 l_{60}=30 l 60 = 30 人で年齢は 60 歳。したがって
x ˉ d = 60 × 45 + 30 × 60 60 + 30 = 4,500 90 = 50.0 \bar x^{\,d}=\dfrac{60\times45+30\times60}{60+30}=\dfrac{4{,}500}{90}=50.0 x ˉ d = 60 + 30 60 × 45 + 30 × 60 = 90 4 , 500 = 50.0 歳
中途脱退だけで数えると 45.0 歳になり、正しい 50.0 歳から 5歳ずれる 。脱退者の総数も 60 60 60 人にしかならず、加入者数 l 30 = 90 l_{30}=90 l 30 = 90 人と合わない。 脱退者総数が加入者数に一致するかを見れば、落としたことがすぐ分かる 。
x ˉ d − x ˉ = 50.0 − 42.5 = 7.5 \bar x^{\,d}-\bar x=50.0-42.5=7.5 x ˉ d − x ˉ = 50.0 − 42.5 = 7.5 歳。この差は制度の在職年数の長さを表す量で、本試験は差だけを与えて l x l_x l x のパラメータを逆算させる形（2024年度問題1(2)）を出している。
にしかならず、加入者数
と合わない。脱退者総数が加入者数に一致するかで検算できる。
平均年齢の重みを人数ではなく年数にしてしまう。重みは各年齢の被保険者数 l x l_x l x であって、在職年数ではない。連続形では l x d x l_x\,dx l x d x が重みになる。
制度変更後の平均年齢を、新旧の平均年齢の単純平均で出してしまう。人数が違うので、加重平均を分子と分母に分けて足し直さなければならない。 、差は
( x r − x e ) / 6 (x_r-x_e)/6 ( x r − x e ) /6 。2022年度問題1(1)は
（
）で
なので、この3本がそのまま使える。
の年度（2024年度問題1(2) の
など）ではこの形が崩れるので、定年退職者を別に足して数える。