定常人口の定義と成立条件

年金数理・用語・定常人口と人員構成

ひとことで言うと

毎年おなじ人数がおなじ年齢で入り、抜け方もおなじなら、何年たっても年齢別の人数の絵が変わらなくなる。この状態が定常人口で、年金数理の計算はまずこの絵の上で組み立てる。

定常人口では、どの年度で切っても年齢別の被保険者数がおなじになる。年齢 x の人数は脱退残存表の lₓ に比例し、比例定数は毎年の新規加入者数で決まる。

\text{新規加入者数一定}\ +\ \text{脱退が}\ l_x\ \text{どおり}\ \Rightarrow\ \text{各年齢の人数が時間不変}

毎年一定数が同じ年齢で加入し、脱退残存表どおりに脱退する集団で、時間が経つと人員構成が変わらなくなる状態。年金数理の計算はこの定常状態を基準にして組み立てる。

定常人口とは、年齢別の被保険者数が時間によらず一定になった状態をいう。成立する条件は3つある。

(1) 毎年の新規加入者数が一定であること（加入年齢も一定であること） (2) 脱退が脱退残存表 $l_x$ どおりに起こり、脱退率が時間で変わらないこと (3) 制度の発足または直近の変更から $x_r-x_e$

成立条件は3つで、1つ欠けても定常ではない

新規加入者数が一定・脱退率が時間で変わらない・変更から $x_r-x_e$ 年経過、の3つ。本試験は3つ目を外した状態（変更から $t$ 年後）を聞く形が10年で4回あり、2017年度問題1(1)・2020年度問題1(1)・2022年度問題1(1)・2025年度問題1(2) がすべてこの形である。

Trowbridgeモデルと定常人口は独立した仮定である

＜計算の前提＞

・B1〜B6 と同じトイモデル（加入57歳・定年60歳・予定利率 2.0 パーセント）

・脱退残存表は $l_{57}=1{,}000$ 、 $l_{58}=900$

「定常人口」を「被保険者の総数が一定」とだけ覚えてしまう。定常人口は年齢別の人数がそれぞれ一定であることを言う。総数だけが一致していても、年齢の分布が違えば平均年齢も人数現価も変わる。
制度を変更した直後から新しい定常状態になったと思い込む。全員が入れ替わるまで $x_r-x_e$ 年かかるので、その間は「新旧2枚の貼り合わせ」で計算しなければならない。
Trowbridgeモデルと書いてあるだけで定常人口を仮定してしまう。本試験は前書きで毎年明示的に否定しており、問題文に「定常人口に達している」と書かれていない限り仮定してはいけない。

加入年齢 $x_e$ 、最終年齢 $x_r$ の年金制度が、ある年度から新規加入者数の見込みを変更した。変更後の人員構成が新しい定常人口に達するまでに必要な年数として正しいものはどれか。

本試験は10年すべての前書きに「Trowbridge モデルの年金制度は必ずしも定常人口を仮定するものではない」と明記している。この注意書きが意味するものとして正しいものはどれか。

毎年期初に 1,000 人が 57 歳で加入し、 $l_{57}=1{,}000$ 、 $l_{58}=900$ 、 $l_{59}=800$ 、 $l_{60}=700$ 、定年 60 歳の定常人口がある。毎年の脱退者の総数として正しいものはどれか。