最尤推定

損保数理・用語・統計的推測

ひとことで言うと

観測データが実際に得られる「もっともらしさ（尤度）」を最大にするパラメータの値を推定量として採用する方法。対数尤度を微分して0とおくことで解を求めるのが基本手順。

尤度関数L(θ)を最大にするθの値θ̂を最尤推定量とする。

数式で表すと

\hat\theta = \arg\max_\theta L(\theta),\qquad \dfrac{\partial \log L(\theta)}{\partial \theta}=0

パラメータ $\theta$ のもとで観測データが得られる尤度（同時確率・密度） $L(\theta)$ を最大化する値を推定量とする方法。実務では対数尤度 $\log L(\theta)$ を微分して0とおいて解く。損保数理では免責金額・支払限度額による打切りデータ（切断・打切り込みの尤度）に対する推定が頻出。

最尤推定では、パラメータ $\theta$ のもとで観測データ $x_1,\ldots,x_n$ が得られる尤度

$L(\theta)=\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)$

試験に出る性質

指数分布の最尤推定量は $\hat\lambda=n/\sum x_i$

指数分布 $\mathrm{Exp}(\lambda)$

例で見る

指数分布に従う5件のデータの合計が40のとき、最尤推定量は

$\hat\lambda=n/\sum x_i=5/40=0.125$

つまずきポイント

打切り・切断データに通常の尤度関数（密度関数の積）をそのまま使うのは誤り。打切られた観測には生存関数を使う必要がある。
対数尤度を微分して0とおいた解が必ずしも唯一の最大値とは限らない（2階微分や境界での値も確認する）。
最尤推定量は不偏とは限らない（例：正規分布の分散の最尤推定量はnで割るが、不偏推定量はn-1で割る）。

定着クイズ

指数分布に従う8件のデータの合計が64のとき、最尤推定量λ̂に最も近いものはどれか。

免責金額が設定された打切りデータの最尤推定に関する記述として正しいものはどれか。

対数正規分布に従うデータの最尤推定に関する記述として正しいものはどれか。

関連：モーメント法によるパラメータ推定フィッシャー情報行列デルタ法・区間推定

この用語を扱う問題（2）

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