モーメント法によるパラメータ推定

損保数理・用語・統計的推測

ひとことで言うと

母集団の理論上のモーメント（平均・分散など）と、実際のデータから計算した標本モーメントを等しいとおいて方程式を解き、パラメータを推定する方法。最尤推定より計算が簡単なことが多い。

理論モーメントと標本モーメントを等置してパラメータの方程式を立てる。

E[X^k]=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i^{k}\quad(k=1,2,\dots)

モーメント法では、理論モーメント $E[X^k]$ と標本モーメント $\frac1n\sum X_i^k$

パレート分布はサンプルの平均・分散からモーメント法で推定できる

パレート分布のパラメータは、サンプルの平均・分散（またはエクセス後の平均）を理論モーメントに等置してモーメント法で推定できる（2016年度問題1、2024年度問題2）。

免責金額付きデータでは無記憶性を利用してモーメントを立式できる

免責金額を超えたデータ（エクセス後のデータ）に対して指数分布の無記憶性を利用すると、エクセス後の平均をそのままパラメータの推定に使える（2021年度問題1）。

負の二項分布は平均・分散から連立方程式でα,βを推定する

負の二項分布のパラメータα,βは、標本の平均と分散をそれぞれ理論モーメント $E[N]=\alpha/\beta$ 、 $V[N]=\alpha(\beta+1)/\beta^2$

標本平均が0.3、標本分散が0.36のとき、負の二項分布のパラメータをモーメント法で推定する。 $E[N]=\alpha/\beta=0.3$ より $\alpha=0.3\beta$ 。これを $V[N]=\alpha(\beta+1)/\beta^2=0.36$

標本平均が0.4、標本分散が0.6の負の二項分布について、モーメント法でβを推定すると最も近いものはどれか。

免責金額付きデータのモーメント法推定に関する記述として正しいものはどれか。

2パラメータの分布をモーメント法で推定する際に必要な条件として正しいものはどれか。