混合ポアソン過程・負の二項分布

損保数理・公式・クレーム総額モデル・確率過程

ひとことで言うと

契約者ごとにリスクの高さ（強度）が異なる場合、その強度自体を確率変数とみなしてモデル化したもの。強度がガンマ分布に従うと仮定すると、混合後の件数分布は負の二項分布になり、単純なポアソン分布より分散が大きくなる（過分散）性質を表せる。

契約者ごとの強度Λがガンマ分布に従うと仮定し、Λが与えられたときの件数がポアソン分布に従うとすると、混合後の件数分布（周辺分布）は負の二項分布になる。

\Lambda\sim\Gamma(\alpha,\beta)

のとき

\Pr(N=n)=\dbinom{n+\alpha-1}{n}\left(\dfrac{\beta}{\beta+1}\right)^{\alpha}\left(\dfrac{1}{\beta+1}\right)^{n}

ポアソン過程の強度 $\Lambda$ 自体が契約者ごとに異なる確率変数（構造分布）であるとする。 $\Lambda$ がガンマ分布 $\Gamma(\alpha,\beta)$ に従うと仮定すると、混合後の件数分布は

$\Pr(N=n)=\dbinom{n+\alpha-1}{n}\left(\dfrac{\beta}{\beta+1}\right)^{\alpha}\left(\dfrac{1}{\beta+1}\right)^{n}$

混合ポアソン過程のクレーム件数の積率母関数

強度Λがガンマ分布に従う混合ポアソン過程では、混合後の件数分布（負の二項分布）の積率母関数を、Λについて期待値をとることで導出できる（2021年度問題3）。

モーメント法によるα・βの推定

負の二項分布のパラメータα・βは、標本の平均・分散からモーメント法で推定できる（2021年度問題3）。

混合ポアソン過程は時間とともに過分散が強まる

混合ポアソン過程では、時刻tまでの件数N(t)について分散/平均の比が1を超え、その比は時間とともに大きくなる（過分散が時間とともに強まる）（2023年度問題3）。

混合ポアソン過程の無事故確率

ガンマ混合ポアソン過程のもとで、期間tにおける無事故確率は $\Pr(N(t)=0)=(\beta/(\beta+t))^\alpha$

$\Lambda\sim\Gamma(\alpha=3,\beta=2)$ とすると、 $E[N]=\alpha/\beta=1.5$

ガンマ分布のパラメータ(α,β)の定義（形状母数・尺度母数か、形状母数・レート母数か）を取り違えると、E[N]=α/βなどの式が合わなくなる。教科書の定義を確認する。
混合ポアソン過程は必ず分散>平均（過分散）になる。ポアソン分布（分散=平均）と同じ性質だと誤解しない。
時刻tでの無事故確率(β/(β+t))^αは、負の二項分布の生存関数の性質から導かれる形であり、単純にΛ=βtのような代入で求まるものではない。

Λ~Γ(α=4,β=2)のとき、E[N]に最も近いものはどれか。

同じΛ~Γ(4,2)のとき、V[N]に最も近いものはどれか。

混合ポアソン過程（強度がガンマ分布に従う）の件数分布の分散は、同じ平均をもつポアソン分布の分散と比べてどうか。