非斉次ポアソン過程・オペレーショナルタイム

損保数理・用語・クレーム総額モデル・確率過程

ひとことで言うと

事故の起こりやすさが時間帯や季節によって変化する場合に使うモデル。強度λ(t)を積分した累積強度（オペレーショナル・タイム）を新しい時間軸として使うと、通常の（強度一定の）ポアソン過程として扱える。

強度λ(t)（左）が時間帯によって変化する場合、その積分である累積強度Λ(t)（右、オペレーショナル・タイム）は区分的に傾きの異なる増加関数になる。

\Pr(N(t)=n)=\dfrac{\Lambda(t)^n}{n!}e^{-\Lambda(t)}

強度 $\lambda(t)$ が時刻とともに変化するポアソン過程を非斉次ポアソン過程という。累積強度（オペレーショナル・タイム）

$\Lambda(t)=\int_0^t\lambda(s)\,ds$

累積強度Λ(t)をパラメータとすれば非斉次ポアソン過程も通常のポアソン分布として扱える

強度λ(t)を積分した累積強度Λ(t)（オペレーショナル・タイム）をパラメータとして使うと、非斉次ポアソン過程でもある時刻までの件数確率を通常のポアソン分布として計算できる（2017年度問題3）。

非斉次ポアソン過程における初回事故発生時刻の期待値

強度が時間変化する非斉次ポアソン過程でも、累積強度Λ(t)を使えば初回事故発生までの期待時間を計算できる（2017年度問題3）。

オペレーショナルタイムを用いた累計クレーム総額の計算

オペレーショナル・タイムに基づく件数モデルと損害額分布を組み合わせれば、累計クレーム総額の期待値を計算できる（2020年度問題3）。

非斉次ポアソン過程における特定時刻の件数確率

積分強度（累積強度）の値を使えば、ある時刻における件数がちょうどある値になる確率を計算できる（2021年度問題3）。

区分的な強度関数の累積強度は区間ごとの積分の合計になる

時間帯によって強度が変わる（区分的な）強度関数の場合、累積強度Λ(t)は各区間ごとの積分値を合計して求める（2025年度問題2）。

強度が $\lambda(s)=0.2$ （ $0\le s<5$ ）、 $\lambda(s)=0.5$ （

λ(s)=0.3（0≤s<4）、λ(s)=0.6（s≥4）とする。Λ(6)に最も近いものはどれか。

同じΛ(6)=2.4のとき、Pr(N(6)=0)に最も近いものはどれか。

非斉次ポアソン過程で件数の確率を計算する際、ポアソン分布のパラメータとして使うべき値はどれか。