パンジャーの再帰式

損保数理・公式・クレーム総額モデル・確率過程

ひとことで言うと

件数分布が(a,b,0)クラス（ポアソン・二項・負の二項）に属し、損害額分布を離散化しておくと、クレーム総額の確率分布を、小さい値から順に「一つ前の値」を使って逐次的に計算できる。手計算・数値計算でクレーム総額の分布を求める代表的な方法。

パンジャーの再帰式では、 $f_S(0)$ から出発し、 $f_S(1)$ 、 $f_S(2)$

f_S(x)=\dfrac{1}{1-a f_X(0)}\displaystyle\sum_{y=1}^{x}\left(a+\dfrac{by}{x}\right)f_X(y)\,f_S(x-y)

件数分布が $(a,b,0)$ クラス（ポアソン： $a=0,\,b=\lambda$ 、二項、負の二項のいずれか）に属し、損害額分布を離散化して $f_X(0),f_X(1),\ldots$

パンジャーの再帰式の係数a,bは件数分布の確率母関数の性質から決まる

パンジャーの再帰式の係数a,bは、件数分布が(a,b,0)クラスのどれに属するか（ポアソン・二項・負の二項）に応じて、その確率母関数の性質から決まる（2019年度問題3）。

パンジャーの再帰式による確率の逐次計算

具体的な件数分布・損害額分布のもとで、パンジャーの再帰式を使えばクレーム総額がある値以上になる確率を逐次計算できる（2019年度問題3）。

件数 $N\sim\mathrm{Poisson}(\lambda=2)$ （ $a=0,\,b=2$ ）、損害額は $f_X(0)=0,\,f_X(1)=0.6,\,f_X(2)=0.4$

(a,b,0)クラスの係数 $a$ 、 $b$ は件数分布ごとに決まっている（ポアソン： $a=0$ 、 $b=\lambda$ 、二項・負の二項はそれぞれ異なる形）。件数分布に対応する正しい $(a,b)$

件数 $N$ がポアソン分布（ $\lambda=3$ 、 $a=0$ 、 $b=3$ ）に従い、 $f_X(0)=0.2$ であるとき、 $f_S(0)=P_N(f_X(0))=e^{-3(1-0.2)}$ に最も近いものはどれか。

パンジャーの再帰式が使える件数分布の条件はどれか。

パンジャーの再帰式における初期値 $f_S(0)$ はどう求めるか。