複合ポアソン分布

損保数理・公式・クレーム総額モデル・確率過程

ひとことで言うと

件数Nがポアソン分布に従う場合のクレーム総額モデル。独立な複数の複合ポアソン分布の和も、また複合ポアソン分布になる（再生性）という便利な性質があり、損保のクレーム総額モデルの基本形として最もよく使われる。

独立な複合ポアソン分布 $S_1$ 、 $S_2$ の和は、強度が $\lambda_1+\lambda_2$

E[S]=\lambda E[X]

V[S]=\lambda E[X^2]

件数 $N$ が強度 $\lambda$ のポアソン分布に従うクレーム総額 $S=X_1+\cdots+X_N$

複合ポアソン分布のクレーム総額確率はパンジャーの再帰式等で計算できる

件数がポアソン分布に従い損害額が離散分布の場合、複合ポアソン分布に従うクレーム総額がある値になる確率はパンジャーの再帰式などを使って計算できる（2017年度問題1）。

複合ポアソン分布のもとでの分散の計算と再保険への応用

複合ポアソン分布のクレーム総額の分散 $V[S]=\lambda E[X^2]$ は、超過損害額再保険の設計（分散を一定割合減らすための免責金額の決定など）に応用できる（2019年度問題2）。

免責金額を適用した個々の損害額でも複合ポアソン分布の期待値公式が使える

免責金額（エクセス方式）を適用した個々の損害額 $Y=\max(X-d,0)$

$\lambda=5$ （1年あたりの件数）、損害額 $X\sim\mathrm{Exponential}(\text{平均}=20)$ とする。指数分布では $E[X^2]=2\times20^2=800$

V[S]=λE[X²]という簡略公式は、件数がポアソン分布のとき（S009の一般公式でE[N]=V[N]=λとなる特殊ケース）にのみ成り立つ。件数が負の二項分布など他の分布の場合はこの簡略公式は使えない（S009の一般公式に立ち返る必要がある）。
E[X²]は「E[X]の2乗」ではない。E[X²]=V[X]+E[X]²（分散+期待値の2乗）で正しく計算する。
複合ポアソン分布の再生性は、合算する各複合ポアソンの損害額分布が独立同分布である必要はなく、それぞれ異なる分布でもよい（合算後は混合分布になる）。「同じ分布でなければ再生性が使えない」という誤解に注意。

λ=4（1年あたり）、X~Exponential(平均=30)とする。E[S]に最も近いものはどれか。

同じ設定（λ=4、X~Exponential(平均30)）でV[S]に最も近いものはどれか。

複合ポアソン分布の再生性により、独立な2つの複合ポアソン(λ1,F1)と(λ2,F2)の和はどうなるか。