ポアソン過程・クレーム件数過程

損保数理・用語・クレーム総額モデル・確率過程

ひとことで言うと

事故がランダムかつ独立に、単位時間あたり一定の強度λで発生するとき、時刻tまでの事故件数はポアソン分布に従う。事故と事故の間隔（待ち時間）は指数分布に従うという性質があり、クレーム件数モデルの最も基本的な出発点となる。

事故はランダムな間隔（互いに独立な指数分布に従う待ち時間 $T_1,T_2,\ldots$ ）で発生し、時刻tまでの件数N(t)はポアソン分布に従う。

\Pr(N(t)=n)=\dfrac{(\lambda t)^n}{n!}e^{-\lambda t}

単位時間あたり強度 $\lambda$ で独立に事故が発生する計数過程をポアソン過程という。時刻 $t$ までの累積件数 $N(t)$ は

$\Pr(N(t)=n)=\dfrac{(\lambda t)^n}{n!}e^{-\lambda t}$

間引き（thinning）：確率pで独立に選ばれた事故の過程は強度λpのポアソン過程になる

各事故が独立に確率pで「対象」となる（例：免責金額を超える）とき、対象事故の発生過程は強度λpのポアソン過程になる（間引き、thinning）。この性質を使って一定期間の無支払確率を計算できる（2025年度問題2）。

初回事故発生時刻の期待値

ポアソン過程における初回事故発生までの待ち時間は指数分布 $\mathrm{Exp}(\lambda)$ に従うため、その期待値は $1/\lambda$ となる（2025年度問題2）。

間引き後のクレーム件数の積率母関数（IBNR評価への応用）

報告割合や検出割合F(v)で間引いたポアソン過程のクレーム件数も、間引きの性質からその積率母関数を求めることができ、IBNR備金評価などに応用される（2019年度問題3）。

強度 $\lambda=0.4$ （1か月あたり）のポアソン過程で、 $t=6$ か月間の件数を考える。 $\lambda t=2.4$ より

$\Pr(N(6)=2)=\dfrac{2.4^2}{2!}e^{-2.4}\approx2.88\times0.0907\approx0.261$

ポアソン過程の強度λと期間tの積λtが平均件数になる。λとtを混同して代入しない（λはあくまで単位時間あたりの強度）。
間引き（thinning）で選び出された事故の過程が強度λpのポアソン過程になるのは、各事故が独立に確率pで選ばれる場合に限る。選択に相関がある場合は成り立たない。
待ち時間 $T_1$ が指数分布に従うのは強度が一定（斉次）のポアソン過程の場合。強度が時間変化する場合（非斉次ポアソン過程）はこの単純な指数分布にはならない。

強度λ=0.5（1か月あたり）のポアソン過程で、t=4か月間にPr(N(4)=1)に最も近いものはどれか。

強度λ=0.6（1か月あたり）のポアソン過程で、免責金額の導入により事故の70%のみが支払対象（間引き確率p=0.7）となるとき、支払対象事故の過程の強度はどれか。

強度λが一定の（斉次）ポアソン過程において、初回事故発生時刻T1が従う分布はどれか。