クレーム総額モデル（積率母関数・キュムラント）

クレーム件数 $N$ と個々のクレーム額 $X_i$ の和 $S=X_1+\cdots+X_N$ でクレーム総額をモデル化する複合分布。積率母関数やキュムラントを用いて総額の分布・積率を求める。

$M_S(t)=E[e^{tS}]=M_N(\log M_X(t))$

と表せる（$N$の積率母関数の引数に$\log M_X(t)$を代入する形）。これを使うと、期待値・分散は

$E[S]=E[N]E[X]$

$V[S]=E[N]V[X]+V[N]E[X]^2$

（全分散公式より導かれる）。歪度などの高次のキュムラントも同様の考え方で、件数側・損害額側それぞれのキュムラントの組み合わせとして表せる。この枠組みは、件数分布が複雑な場合（例えば複数のクレーム総額が共通の事故要因を通じて件数面で従属する場合）にも、共通のショック変数を通じた依存関係をMGFに反映させて拡張できる。

$E[S]=E[N]E[X]=5\times200=1000$

$V[S]=E[N]V[X]+V[N]E[X]^2=5\times40000+4.75\times40000=390{,}000$

となる。件数のばらつき（$V[N]$）が総額の分散に大きく寄与していることがわかる。