パレート分布

損保数理・公式・損害額分布モデル

ひとことで言うと

損害額の分布の中でも特に裾が重い（極端に大きい損害が起こりやすい）ことを表す代表的な分布。ある閾値を超えた損害額（超過額）も、また同じパレート分布に従うという性質（閾値不変性）をもつ。

同じ左端の値から出発しても、パレート分布（緑の実線）は指数分布（グレーの破線）より裾が重く、大きな損害額が起こる確率が相対的に高いことを示す模式図。

F(x)=1-\left(\dfrac{\beta}{\beta+x}\right)^{\alpha}

E[X]=\dfrac{\beta}{\alpha-1}\ (\alpha>1)

裾の重い損害額分布の代表例で、大口クレームのモデル化に用いる。閾値を超えた超過額も再びパレート分布に従う性質をもつ。

パレート分布は生存関数 $\Pr(X>x)=(\beta/(\beta+x))^\alpha$ がべき乗（多項式的）に減衰するため、指数分布のように指数的に減衰する分布より裾が重い。分布関数と期待値は

$F(x)=1-\left(\dfrac{\beta}{\beta+x}\right)^{\alpha}$

モーメント法によるパラメータ推定

パレート分布のパラメータは、サンプルの平均・分散（またはエクセス後の平均）からモーメント法で推定できる（2016年度問題1、2024年度問題2）。

超過損害額再保険を適用すると期待値は一定の減少率で下がる

パレート分布に従う損害額に超過損害額再保険（エクセス方式）を適用すると、期待値は一定の減少率で小さくなる（2019年度問題2）。

報告遅延がパレート分布に従う場合、IBNR件数の期待値を計算できる

報告遅延（発生から報告までの期間）がパレート分布に従うと仮定すると、ある時点でのIBNRクレーム件数の期待値を計算できる（2019年度問題3）。

パレート分布に従うサンプルの平均が150、分散が45,000であるとき、モーメント法によりパラメータを推定する。 $E[X]=\beta/(\alpha-1)=150$ と $V[X]=\alpha\beta^2/((\alpha-1)^2(\alpha-2))=45{,}000$

パレート分布の期待値はα>1のときのみ存在する（α≤1では発散し無限大になる）。モーメント法を使う前に、この前提条件が満たされているか確認する。
閾値を超えた超過額も同じ形のパレート分布に従う（閾値不変性）が、変わるのは尺度母数β（β+dにシフト）だけで、形状母数αは変わらない。両方が変わると誤解しない。
一般化パレート分布（GPD、S006）とは形状母数ξ=1/αで対応しているが、パラメータの記法（α,β と ξ,β）が異なるため、公式を混同して代入しない。

パレート分布に従うサンプルの平均が150、分散が45,000であるとき、モーメント法によるα（形状母数）の推定値に最も近いものはどれか。

パレート分布(α=3, β=200)の期待値E[X]に最も近いものはどれか。

パレート分布に従う損害額Xについて、ある閾値dを超えた超過額（X-d｜X>d）の分布はどうなるか。