極値理論

損保数理・定理・損害額分布モデル

ひとことで言うと

観測される中で最大の損害額（史上最大クラスの事故）はどんな分布に従うか、という理論。標本数を増やして最大値を適切に基準化すると、常に同じ3つの型（グンベル型・フレシェ型・ワイブル型）のいずれかに近づく（フィッシャー・ティペットの定理）。

標本の最大値 $M_n$ を適切に基準化した分布は、グンベル型（F(x)=exp(-e^-x)）などの極値分布に法則収束する（フィッシャー・ティペットの定理）。

グンベル型：

\lim_{n\to\infty}\Pr\!\left(\dfrac{M_n-b_n}{a_n}\le x\right)=\exp(-e^{-x})

独立同分布の損害額 $X_1,\ldots,X_n$ の最大値を $M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$

標本最大値の基準化分布はグンベル型に法則収束する

標本最大値を適切に基準化した分布はグンベル型に法則収束する。これを用いて90%VaR等の分位点を計算できる（2016年度問題1）。

極値理論の法則収束は最大支払保険金のVaR評価にも応用できる

最大支払保険金の分布も極値理論の法則収束で近似でき、これを用いてVaRを評価できる（2022年度問題2）。

標本の最大値 $M_n$ を基準化した確率変数がグンベル型 $\Pr(Z\le x)=\exp(-e^{-x})$

標本の最大値は3つの極値分布型（グンベル・フレシェ・ワイブル）のいずれかに収束するが、どの型に収束するかは元の分布の裾の性質で決まる。指数分布はグンベル型、パレート分布はフレシェ型に対応することを混同しない。
基準化定数（ $a_n$ 、 $b_n$ ）を無視して、元の分布そのものの分位点を「最大値の分位点」と混同しない。極値理論は基準化後の変数の分布についての結果であることに注意する。
サンプルサイズ $n$ が大きいほど極値分布への近似精度が上がるが、有限の $n$

グンベル型の極値分布の分布関数（基準化後の変数Zについて）はどれか。

標本の最大値を基準化した確率変数Zがグンベル分布に従うとき、Pr(Z≤x)=0.9となるxに最も近いものはどれか。

元の損害額分布の裾が指数的に減衰する（指数分布のような）場合、標本の最大値はどの型の極値分布に収束するか。