一般化パレート分布（GPD）・平均超過関数

損保数理・公式・損害額分布モデル

ひとことで言うと

巨大な損害額（テールリスク）をモデル化するための分布。ある閾値を超えた損害額の「超過分」の分布は、元の分布の形によらず、多くの場合ほぼ一定の形（GPD）に近づくという経験則に基づいている。

GPDのもとでは平均超過関数e(x)はxの1次関数になる（図はξ>0の場合で、閾値が上がるほど平均超過額も増える＝裾が重いことを示す）。

F(x)=1-\left(1+\xi\dfrac{x}{\beta}\right)^{-1/\xi}

ある閾値 $u$ を超えた損害額の超過分 $X-u\mid X>u$ の分布は、多くの実データで元の分布によらずほぼ一定の形（一般化パレート分布、GPD）に近づく（Pickands–Balkema–de Haanの定理）。GPDの分布関数は

$F(x)=1-\left(1+\xi\dfrac{x}{\beta}\right)^{-1/\xi}$

平均超過関数と分布関数の関係式

平均超過関数 $e(x)$ と分布関数の間には $F(x)=1-(e(0)/e(x))\exp(-\int dx/e(u))$

GPD（ $\xi=0.2$ 、 $\beta=8$ ）を考える。平均超過関数は

$e(0)=\dfrac{8}{1-0.2}=10,\qquad e(5)=\dfrac{8+0.2\times5}{0.8}=\dfrac{9}{0.8}=11.25$

GPDの形状母数ξの符号を取り違えると裾の重さの評価が逆になる。ξ>0は裾が重い（パレート型）、ξ=0は指数型、ξ<0は有限の上限をもつ有界分布に対応する。
平均超過関数がxの1次関数になるのはGPDのもとでの性質であり、他の分布では一般に直線にならない。実データの平均超過プロットの直線性を根拠にGPDへの適合を判断する、という論理の向きを取り違えない。
閾値uの選び方によって推定されるパラメータの値が変わる。閾値を極端に高くしすぎるとデータ数が減り推定が不安定になる、というトレードオフがある。

GPD（ξ=0.25、β=6）のとき、平均超過関数e(4)に最も近いものはどれか。

GPDの形状母数ξが正であるとき、対応する性質として正しいものはどれか。

実データの平均超過関数e(x)のプロットがxに対してほぼ直線になることは、何の目安になるか。