ブラウン運動（破産理論）

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損保数理・用語・クレーム総額モデル・確率過程

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先に確認：ポアソン過程・クレーム件数過程複合ポアソン分布

ひとことで言うと

サープラス（保有資産と保険料収入からクレーム支払を差し引いた残高）の動きを、離散的なクレーム発生の代わりに連続的なランダムウォーク（ブラウン運動）で近似するモデル。ある水準に初めて到達するまでの時間の分布を評価するのに使う。

ブラウン運動で近似したサープラス過程が、水準aに初めて到達する時刻τの分布を評価する。

数式で表すと

水準

a

への初到達時刻

\tau

の密度

f_\tau(t)=\dfrac{a}{\sqrt{2\pi t^3}}\exp\!\left(-\dfrac{a^2}{2t}\right)

サープラス過程を連続時間・連続経路の確率過程（ブラウン運動）で近似すると、独立定常増分が正規分布に従うという性質から、様々な確率計算が閉じた形で行える。水準 $a$ （例えば準備金の水準や再保険の限度額）への初到達時刻 $\tau$ の密度は

$f_\tau(t)=\dfrac{a}{\sqrt{2\pi t^3}}\exp\!\left(-\dfrac{a^2}{2t}\right)$

試験に出る性質

閾値への初到達時刻の密度関数

サープラス過程をブラウン運動で近似したとき、ある水準への初到達時刻は逆ガウス分布に従い、その密度関数 $f_\tau(t)=\dfrac{a}{\sqrt{2\pi t^3}}\exp(-a^2/2t)$

例で見る

水準 $a=6$ への初到達時刻の密度を $t=9$ で評価すると

$f_\tau(9)=\dfrac{6}{\sqrt{2\pi\times9^3}}\exp\!\left(-\dfrac{6^2}{2\times9}\right)=\dfrac{6}{\sqrt{4580.4}}\times e^{-2}\approx0.0886\times0.1353\approx0.0120$

つまずきポイント

ブラウン運動近似は「多数の小さなクレームが高頻度で発生する」状況での近似であり、少数の巨大なクレームが支配的な状況（裾の重い分布）には適さない。
初到達時刻の密度f_τ(t)は逆ガウス分布の形をしており、正規分布や指数分布と混同しない。
破産理論の枠組み（クレーム件数が離散的な複合ポアソン過程モデル）と、ブラウン運動による連続近似モデルは別の枠組みであり、どちらの設定で問われているか問題文で確認する。

定着クイズ

水準a=6への初到達時刻の密度をt=9で評価した値f_τ(9)に最も近いものはどれか。

ブラウン運動によるサープラス過程近似が適するのはどのような状況か。

初到達時刻τの密度関数f_τ(t)が従う分布はどれか。

この用語を扱う問題（1）

ブラウン運動（破産理論）損保数理・★★★

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