死亡順序に関する確率

2生命以上で、誰が先に死亡するか等の死亡順序に関する確率。条件付給付や遺族年金の給付現価計算の基礎となる。

$_nq^1_{xy}$：$n$年以内に第一死亡が起こり、それが$(x)$である確率 $_nq^2_{xy}$：$n$年以内に$(x)$が死亡し、それが第二死亡（後）である確率

右肩の1・2は「$(x)$が何番目に死ぬか」を表す。定義から、次の関係が成り立つ。

$_nq^1_{xy}+{}_nq^1_{yx}={}_nq_{xy}$（$n$年以内に第一死亡が起こる確率） $_nq^2_{xy}+{}_nq^2_{yx}={}_nq_{\overline{xy}}$（$n$年以内に第二死亡が起こる確率） $_nq^1_{xy}+{}_nq^2_{xy}={}_nq_x$（順序を問わず$(x)$が死亡する確率）

計算は、独立なら二重積分（または累積分布の積分）で行う。$(x)$が先に死亡する確率は

$_\infty q^1_{xy}=\displaystyle\int_0^{\infty}{}_tp_{xy}\,\mu_{x+t}\,dt$

である。$_tp_{xy}$（そのときまで両者生存）に$(x)$の死力を掛けて積分する、という形はどの順序問題でも共通である。死力が定数$\mu_x,\mu_y$なら $\mu_x/(\mu_x+\mu_y)$ という単純な比になり、de Moivre型（残存期間が一様分布）なら平面上の面積比の計算になる。

$\dfrac{\mu_x}{\mu_x+\mu_y}=\dfrac{0.02}{0.05}=0.4$

である（$(y)$が先は $0.6$、和は1）。

(2) de Moivre型：$\omega=100$の生命表で、60歳男性の残存期間は区間$(0,40)$上の一様分布、70歳女性の残存期間は区間$(0,30)$上の一様分布になる。男性が女性より後に死亡する確率は

$\displaystyle\int_0^{30}\dfrac{40-v}{40}\cdot\dfrac{1}{30}\,dv=\dfrac{1}{1200}\left(1200-450\right)=0.625$

である。

(3) 期間条件付き：(1)の設定で「$(x)$が先に死亡し、かつ$(y)$の死亡までの間隔が10年以内」となる確率は

$\dfrac{\mu_x\left(1-e^{-10\mu_y}\right)}{\mu_x+\mu_y}=0.4\times\left(1-e^{-0.3}\right)=0.103673$

である。(1)の $0.4$ より小さくなることが順序条件だけの場合との違いを表している。