連生の生存確率（同時・最終生存者）

2生命の生存に関する確率。同時生存$xy$（両者生存）と最終生存者$\overline{xy}$（少なくとも一方生存）の関係が基本恒等式となる。

$(x)$と$(y)$の死亡が独立なら、$t$年後にそれぞれの状態が続いている確率は

$_tp_{xy}={}_tp_x\,{}_tp_y$

$_tp_{\overline{xy}}={}_tp_x+{}_tp_y-{}_tp_{xy}$

と書ける。前者は独立性による積、後者は包除原理（足して重なりを引く）である。

死亡側に読み替えると、$_tq_{\overline{xy}}={}_tq_x\,{}_tq_y$（$t$年以内に両方死亡）、$_tq_{xy}=1-{}_tp_x\,{}_tp_y$（$t$年以内に少なくとも一方死亡＝第一死亡が起こる）となる。生存側の「同時」と死亡側の「同時」は指すものが逆になるので、記号ではなく日本語の意味に戻して確かめるとよい。

3生命以上でも考え方は同じで、包除原理を項数を増やして適用するだけである。同年齢$n$人なら二項展開でちょうど$k$人生存の確率も書ける。

同時生存：$_tp_{xy}=0.95\times0.90=0.855$

最終生存者：$_tp_{\overline{xy}}=0.95+0.90-0.855=0.995$

検算として、$t$年以内に両方が死亡する確率を直接計算すると

$_tq_{\overline{xy}}=0.05\times0.10=0.005$

であり、$1-0.995=0.005$ と一致する。

同年齢3人（各$_tp=0.9$、独立）なら、全員生存が $0.9^3=0.729$、少なくとも1人生存が $1-0.1^3=0.999$、ちょうど2人生存が $3\times0.9^2\times0.1=0.243$ である。