ちょうどk人生存の確率

生保数理・公式・連生

ひとことで言うと

$n$ 人のうち「ちょうど $k$ 人が生き残る」確率を、誰が生きて誰が死ぬかを一つずつ場合分けせずに、同時生存確率の足し引きだけで書いてしまう公式。包除原理を「少なくとも」用から「ちょうど」用に作り替えたもの。

4人の場合の係数表。行が「ちょうど何人生存か」、列が同時生存確率の総和 $S_j$

{}_tp^{[k]}=\sum_{j=k}^{n}(-1)^{j-k}\binom{j}{k}S_j,\qquad S_j=\sum_{i_1<\cdots<i_j}{}_tp_{i_1\cdots i_j}

$n$ 人の被保険者について、 $j$ 人ずつ選んだ同時生存確率をすべて足したものを

$S_j=\sum_{i_1<\cdots<i_j}{}_tp_{i_1 i_2\cdots i_j}$

ちょうど k 人生存の確率は、j人ずつの同時生存確率の交代和で書ける

${}_tp^{[k]}=\sum_{j=k}^{n}(-1)^{j-k}\binom{j}{k}S_j$

$(x),(x),(y),(y)$ の4人について、1年生存確率が $p_x=0.9$ 、 $p_y=0.8$

4人の被保険者について、ちょうど2人が $t$ 年後に生存する確率を $S_2,S_3,S_4$ （ $S_j$ は $j$ 人ずつの同時生存確率の総和）で表したとき、 $S_3$ に付く係数はどれか。

被保険者が $(x),(x),(y),(y)$ の4人であるとき、2人ずつの同時生存確率の総和 $S_2$ の表し方として正しいものはどれか。

$(x),(x),(y),(y)$ の4人について、 $p_x=0.9$ 、 $p_y=0.8$ 、互いに独立とする。1年後にちょうど2人が生存する確率に最も近いものはどれか。