連生年金

2生命の生存に連動する年金。同時生存年金・最終生存者年金があり、計算基数・生存確率から現価を求める。大問で微分導出が頻出。

$\ddot a_{\overline{xy}}=\ddot a_x+\ddot a_y-\ddot a_{xy}$（少なくとも一方生存中は支払）

となる。最終生存者年金が包除で書けるのは、生存確率の包除（SEI046）をそのまま現価に持ち込めるためである。

遺族年金（$(x)$の死亡後、$(y)$が生存している間だけ支払う年金）は、「$(y)$が生存している期間」から「両者が生存している期間」を差し引けばよいので

$\ddot a_{x|y}=\ddot a_y-\ddot a_{xy}$

と書ける。連続払なら $\bar a$ に置き換えるだけである。

大問で問われるのは微分の型である。連続払の同時生存年金を経過$t$で微分すると

$\dfrac{d}{dt}\bar a_{x+t:y+t}=\left(\delta+\mu_{x+t}+\mu_{y+t}\right)\bar a_{x+t:y+t}-1$

となる。単生命の $\dfrac{d}{dt}\bar a_{x+t}=(\delta+\mu_{x+t})\bar a_{x+t}-1$ と同じ形で、死力が2人分足されるだけである。最終生存者年金の微分は、包除の各項をこの式で微分して足し合わせれば出る。この導出はThieleの微分方程式（SEI037・SEI038）へそのままつながる。

$\bar a_x=\dfrac{1}{\delta+\mu_x}=\dfrac{1}{0.07}=14.28571$、$\bar a_y=\dfrac{1}{0.08}=12.5$

$\bar a_{xy}=\dfrac{1}{\delta+\mu_x+\mu_y}=\dfrac{1}{0.10}=10.0$

である。したがって

最終生存者年金：$\bar a_{\overline{xy}}=14.28571+12.5-10.0=16.78571$

遺族年金（$(x)$死亡後に$(y)$へ支払）：$\bar a_{x|y}=12.5-10.0=2.5$

となる。$(y)$単独の $12.5$ のうち $10.0$ は両者生存中の支払で、残りの $2.5$ が「$(x)$亡きあと」の部分にあたる、と読める。