生存給付金付保険（生存保険の変則給付）

保険期間中の所定時点で生存給付金を支払うなど、変則的な生存給付を持つ保険。給付現価を分解して純保険料を評価する。

となる。$D_{x+t}/D_x$ は純粋な生存保険（据置現価）${}_tE_x$ そのものなので、生存給付金の現価は据置現価の線形結合にすぎない。満期保険金も「最後の1回の生存給付金」とみなせば同じ形に入る。

到達年齢で読む

出題では「息子が12歳、15歳に到達するごとに生存給付金を支払う」のように年齢で条件が書かれる。加入年齢が3歳で保険期間15年なら、12歳は第9保険年度末、15歳は第12保険年度末、満期の18歳は第15保険年度末である。計算基数の添字は年齢なので、$D_{12}$・$D_{15}$・$D_{18}$ をそのまま使えばよい。経過年数に直そうとして取り違えるのが最も多い失敗である。

責任準備金の再帰式への入り方

生存給付金がある契約の責任準備金は、通常の再帰式に1項が加わるだけである。第 $t+1$ 保険年度末の生存給付金を $E_{t+1}$ とすると

${}_tV+P=v\Big[q_{x+t}\,S+p_{x+t}\big({}_{t+1}V+E_{t+1}\big)\Big]$

となる。生存給付金は「生存している人に支払う」ので、$p_{x+t}$ が掛かる側に入る。年 $k$ 回払・保険料も給付も時点ごとに変わる一般形でも、生存給付金は同じ位置に1項として現れるだけで、再帰の構造自体は変わらない。この一般形を $k\to\infty$ とすればThieleの微分方程式が出る。

責任準備金は給付時点で不連続に下がる

生存給付金を支払った直後の責任準備金は、支払直前より給付額だけ小さい。

${}_tV^{\text{直後}}={}_tV^{\text{直前}}-E_t$

グラフに描くと、生存給付金の時点で段差ができる。「$t$ 年経過時点の責任準備金」と問われたら、支払直前か直後かを必ず確認する。

既払込保険料の返還と組み合わさる出題

生存給付金は単独で出るよりも、既払込保険料の返還や遺族年金と組み合わさった総合的な設定のなかに現れることが多い。既払込保険料の返還は $t$ 年経過時点で $tP$ を支払う形になるので、給付現価は $(IA)$ 型の累加保険の現価として書ける。生存給付金の部分だけを取り出せば、上のとおり据置現価の和である。

となる。$D_3=97{,}240$・$D_{12}=90{,}028$・$D_{15}=87{,}743$・$D_{18}=85{,}488$ を入れると

$0.5\times\dfrac{90{,}028+87{,}743}{97{,}240}=0.914084$

$\dfrac{85{,}488}{97{,}240}=0.879144$

合計 $1.793228$ となる。生存給付金の部分（0.914084）が満期保険金の部分（0.879144）とほぼ同じ大きさになっている点に注意したい。給付が2回に分かれていても、割引期間が短いぶん現価はそれほど小さくならない。

なお $D$ ではなく $v$ の累乗だけで割り引くと生存確率が抜け、$N$ を使うと年金現価になってしまう。使うのは必ず $D$ である。