保険料払込免除特約

所定の事由（就業不能・三大疾病等）に該当したとき以後の保険料を免除する特約。免除給付の現価を織り込み、複数手法で純保険料を導く。

$\ddot a^{a}_{x:\angl{m}}$：生存している間（就業者・就業不能者を問わない）の年金現価

3つの関係は次のとおりである。

$\ddot a^{a}_{x:\angl{m}}=\ddot a^{aa}_{x:\angl{m}}+\ddot a^{ai}_{x:\angl{m-1}}$

右辺の第2項だけ添字が $m-1$である点に注意する。加入時点では誰も就業不能ではない（$l^{ai}_x=0$）ので $t=0$ の項が必ず0になり、実体は $m$ 期間ぶんの和なのに慣行として $m-1$ と書く。ここを $m$ と読むと以下の3手法がすべて崩れる。

手法(a)：収入現価の計算を就業者に限定する

保険料は就業者のときにしか払い込まれない、と最初から決めてしまう方法である。支出現価を $X$ とすると

$P=\dfrac{X}{\ddot a^{aa}_{x:\angl{m}}}$

分母が $\ddot a^{aa}$ になるだけで、あとは通常の収支相等式と変わらない。最も素直な解き方である。

手法(b)：主契約に払込免除特約を付ける

保険料が生存中ずっと払い込まれる契約を「主契約」と呼び、その年払純保険料を $P'$ とする。

$P'=\dfrac{X}{\ddot a^{a}_{x:\angl{m}}}$

これに、就業不能になったあとの主契約保険料を免除する特約を付ける。免除される保険料の現価は $P'\,\ddot a^{ai}_{x:\angl{m-1}}$ である。特約保険料 $P_D$ は就業者のときにだけ払い込まれるので

$P_D=P'\,\dfrac{\ddot a^{ai}_{x:\angl{m-1}}}{\ddot a^{aa}_{x:\angl{m}}}$

となる。合計は

$P'+P_D=P'\left(1+\dfrac{\ddot a^{ai}}{\ddot a^{aa}}\right)=P'\,\dfrac{\ddot a^{a}}{\ddot a^{aa}}=\dfrac{X}{\ddot a^{aa}}=P$

で、手法(a)と一致する。

手法(c)：生存中払込の特約を無限に重ねる

特約保険料も生存中に払い込まれるとすると、その特約保険料自体が免除の対象になる。そこで「特約保険料を免除する特約」をさらに付け、それをまた免除する特約を付け……と無限に繰り返す。第1の特約保険料 $P_1$ は

$P_1\,\ddot a^{a}_{x:\angl{m}}=P'\,\ddot a^{ai}_{x:\angl{m-1}}$

を満たすので、$P_1=P'\cdot r$（ただし $r=\ddot a^{ai}_{x:\angl{m-1}}/\ddot a^{a}_{x:\angl{m}}$）となる。以下同じ比が続くので、全体は初項 $P'$・公比 $r$ の等比級数になる。

$P'+\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}P_i=\dfrac{P'}{1-r}=P'\,\dfrac{\ddot a^{a}_{x:\angl{m}}}{\ddot a^{aa}_{x:\angl{m}}}=P$

$r<1$ なので級数は収束する。3手法が同じ値に着地するのは、$\ddot a^{a}=\ddot a^{aa}+\ddot a^{ai}$ という1本の関係式が効いているからである。

特約保険料だけを求めるタイプ

主契約が既にあって特約保険料だけを問う出題もある。このときは2点に注意する。1つは免除されるのは純保険料ではなく営業保険料であること（契約者が実際に払い込むはずだった金額を肩代わりするため）。もう1つは特約保険料の払込回数が主契約より1回少ないことである。最終年度に就業不能になっても、そのあとに免除すべき保険料が残っていないからである。

添字が $m$ ではなく $m-1$ である点が最重要。加入時点では誰も就業不能ではない（$l^{ai}_x=0$）ため $t=0$ の項が0になり、慣行としてこの書き方をする。2022年度問題4（1）が明示的にこの等式を置いている。

まず $\ddot a^{aa}$ を出す。

$\ddot a^{aa}_{x:\angl{m}}=20.00-0.80=19.20$

3手法のどれで解いても同じ値になる。

手法(a)：$P=P'\dfrac{\ddot a^{a}}{\ddot a^{aa}}=0.0100\times\dfrac{20.00}{19.20}=0.0104167$

手法(b)：$P=P'\left(1+\dfrac{\ddot a^{ai}}{\ddot a^{aa}}\right)=0.0100\times\left(1+\dfrac{0.80}{19.20}\right)=0.0104167$

手法(c)：$P=\dfrac{P'}{1-\ddot a^{ai}/\ddot a^{a}}=\dfrac{0.0100}{1-0.80/20.00}=0.0104167$

ここで公比を $\ddot a^{ai}/\ddot a^{aa}$ と読み違えると0.0104348、手法(b)の分母に $\ddot a^{a}$ を使うと0.0104000となり、いずれも「3つが一致する」という設問の眼目が再現できなくなる。一致しなければどこかで記号を取り違えている、というのが最良の検算になる。