費用関数

知識マップ

経済（ミクロ）・公式

ひとことで言うと

企業の費用は固定費用と可変費用に分かれる。追加1単位を生産するコスト（限界費用）が平均費用の最低点を通るという関係は、あらゆる費用分析の基礎。MCがACを下回れば平均は下がり、MCがACを上回れば平均は上がる。

費用曲線の形状と関係。限界費用（MC）はU字形を描き、平均費用（AC）の最低点を下から上に交差する。平均可変費用（AVC）もU字形、平均固定費用（AFC）は右下がり。AC=AVC+AFC。

数式で表すと

$MC = \frac{dC}{dQ}$ , $AC = \frac{C}{Q}$ （MC<ACのときAC↓, MC>ACのときAC↑）

総費用C=FC+VC(Q)。限界費用MC=dC/dQ（追加1単位の費用）。平均費用AC=C/Q。MCはACの最低点を通る。規模の経済（AC逓減）・規模の不経済（AC逓増）。

費用の構成：総費用

C = FC + VC(Q)

・固定費用（FC）：生産量にかかわらず一定（設備費・地代等）・可変費用（VC）：生産量に応じて変化（原材料・労働費等）各費用指標：・限界費用

MC = \frac{dC}{dQ}

：追加1単位を生産するときの費用の増加分・平均費用

AC = \frac{C}{Q} = AFC + AVC

・平均固定費用

AFC = \frac{FC}{Q}

（右下がり：規模の経済の一因）・平均可変費用

AVC = \frac{VC}{Q}

MCとACの重要な関係：

MC < AC \Rightarrow AC\text{（下降中）}

MC = AC \Rightarrow AC\text{（最低点）}

MC > AC \Rightarrow AC\text{（上昇中）}

（MCはACの最低点を必ず通る）規模の経済・不経済：・規模の経済（Economies of Scale）：生産量増加でACが低下・規模の不経済：生産量増加でACが上昇・最小効率規模：ACが最も低くなる生産量

試験に出る性質

MCがACの最低点を通る理由（直感的説明）

平均より高い点を追加すると平均が上がり、平均より低い点を追加すると平均が下がる（成績の平均点と同じ原理）。MCがAC（平均）より低いうちはACが下がり、MC=ACになった瞬間がACの最低点。

短期と長期の費用関数

短期：固定費用が存在（設備等を変えられない）。長期：すべての費用が可変（設備を最適化できる）。長期の平均費用曲線（LAC）は短期AC曲線の包絡線として描かれる。

埋没費用（サンクコスト）

既に支出して回収不能な費用。意思決定では埋没費用を無視し将来の限界費用・限界収入だけで判断する（サンクコスト無視の原則）。「もったいない」という感覚は経済合理的ではない。

例で見る

固定費用 FC = 100、可変費用 VC = Q² とするとき総費用 C = 100 + Q² MC = dC/dQ = 2Q AC = (100 + Q²)/Q = 100/Q + Q ACの最低点：dAC/dQ = -100/Q² + 1 = 0 → Q = 10、AC = 10 + 10 = 20 このときMC = 2×10 = 20 → MC = AC（確認）

つまずきポイント

「MCはACの最低点を通る（交わる）」。MCがACを下から上に突き抜けるタイミングがACの最低点。MCとACが「交差するかどうか」ではなく「MCがACの最低点で等しくなる」という理解が正しい。
「固定費用はMCに影響しない」。MC = dVC/dQ なので固定費用をいくら増やしてもMCは変わらない。ACにはAFCとして影響するが、限界的な生産決定はVCのみで判断する。

定着クイズ

限界費用（MC）と平均費用（AC）の関係として正しいものはどれか。

固定費用が100、可変費用がVC=2Q²のとき、Q=5のときのMCはいくらか。

規模の経済が存在する状況として正しいものはどれか。