賦課方式

保険料が最も高くなる理由

積立金がゼロだと運用収益をまったく使えない。他の方式は積立金 $F$ が生む利息 $dF$ のぶんだけ保険料を減らせるので、賦課方式の保険料 $B$ が上限になる。逆に言えば、賦課方式は制度発足時に一切の追加拠出が要らないという長所を持つ。

完全積立方式との距離

賦課方式（$F=0$）と完全積立方式（$F=B/d$）は目盛りの両端である。両者の差はちょうど $B/d$ で、これが「積立てをまったくしていない状態から、全部積み終わった状態までの距離」になる。

保険料を増やして積立てを進める

本試験は「賦課方式の保険料を $x$ 倍にして $t$ 年払い込むと完全積立方式の積立金に届くか」を繰り返し問う。$n$ 年度末に $F_n=0$、以後の各年度で

$F_{t+1}=(F_{t}+x\,{}^{P}\!C-B)(1+i)$

を回すと、$t$ 年後の積立金は

$v^{t}F_{n+t}=F_{n}+\dfrac{1-v^{t}}{1-v}(x\,{}^{P}\!C-B)$

と閉じる。$F_{n}=0$・$^{P}\!C=B$・$F_{n+t}=B/d$ を代入すると倍率が

$x=\dfrac{1}{1-v^{t}}$

という形にまとまる。この1本を作れるかどうかが設問の分かれ目である。

である。極限方程式 $C+dF=B$ でも $8{,}536.59+0.0196078\times 0=8{,}536.59$ で一致する。

（2）保険料を2倍にして完全積立方式に届くまでの年数

完全積立方式の積立金は $B/d=435{,}365.85$ である。保険料を2倍にすると毎年 $8{,}536.59$ ずつ余るので、

$x=\dfrac{1}{1-v^{t}}=2\ \Longleftrightarrow\ v^{t}=\dfrac{1}{2}\ \Longleftrightarrow\ t>\dfrac{\log 2}{\log 1.02}=35.00$

したがって36年かかる。漸化式 $F_{t+1}=(F_{t}+2B-B)(1+i)$ を実際に36回回すと $F_{36}=440{,}269>435{,}365.85$、35回では $431{,}206<435{,}365.85$ となり、切り上げが必要なことが数値でも確認できる。

（3）本試験（H28問題1(3)）の再現

同じ形の設問が予定利率 3.0 パーセントで出ている。$t>\log 2/\log 1.03=23.44$ より最小の整数は24で、公式解の(Ｉ)と一致する。予定利率が高いほど早く積み上がる（利息が効くため）ことが、35→24 の差に現れている。