Trowbridgeモデルの枠組み

年金数理・用語・財政方式の体系

ひとことで言うと

財政方式どうしを公平に比べるための実験室。定年退職者だけに、定年時から年金額1の終身年金を払う——ここまで単純にすると、6つの方式の保険料と積立金がすべて同じ土俵で計算できる。

定常状態では、期初の積立金に保険料を足し給付を引いて1年運用すると元の積立金に戻る。整理すると C = B - dF が出る。

\text{加入年齢 }a\text{・定年 }r\text{・年金額}1\text{・定常人口（単一加入年齢）}

定常人口・単一加入年齢・定年時から終身年金という単純化のもとで、各財政方式の保険料と積立金を比較できるようにしたモデル。本試験の財政方式比較はほぼこの枠組みで出る。

Trowbridge モデルとは、本試験が毎年冒頭で定義している次の制度である。

・定年退職者のみに、定年退職時より単位年金額（年金額1）の終身年金を年1回期初に支払う・保険料の払い込みは年1回期初払い ・必ずしも定常人口を仮定しない

最後の1行は本試験がわざわざ書き添えている。定常人口は追加の仮定であって、モデルの定義には含まれない。設問が「定常人口のとき」と書いていなければ、定常状態の公式を持ち込んではいけない。

中途脱退者に給付がないのが効いている

このモデルでは中途脱退者に一切給付がない。だから $x$ 歳の被保険者1人あたりの給付現価は

$S_{x}=v^{\,x_{r}-x}\dfrac{l_{x_{r}}}{l_{x}}\ddot a_{x_{r}}=\dfrac{D_{x_{r}}\ddot a_{x_{r}}}{D_{x}}$

Trowbridgeモデルは定常人口を仮定しない

本試験は10年すべての冒頭で「Trowbridgeモデルの年金制度は必ずしも定常人口を仮定するものではない」と明記している。定常状態の公式（C = B - dF や各方式の積立金の算式）は、設問が「定常人口のとき」「定常状態に達している」と書いている場合にだけ使える。

給付が定年時の1点に集中するので給付現価は D だけで書ける

中途脱退者に給付がないため $S_{x}=D_{x_{r}}\ddot a_{x_{r}}/D_{x}$

＜計算の前提＞

・加入年齢 57歳、定年年齢 60歳、予定利率 2.0 パーセント

・毎年期初に 1,000 人が 57 歳で加入する定常状態

・残存数 l57 は 1,000、l58 は 900、l59 は 800、l60 は 700

・定年到達者に 60 歳から年金額 1 の終身年金を年1回期初払い、 $\ddot a_{60}=10$

年金受給権者の数は定常状態で 8,536.59 人になる。全員に年金額1を払うので

$B=8{,}536.59$

本試験が毎年定義しているTrowbridgeモデルの説明として正しいものはどれか。

定常状態の収支式 F = (F + C - B)(1 + i) を C について解いた式として正しいものはどれか。

年間給付総額 B = 8,536.59、d = 0.0196078 の制度が退職時年金現価積立方式で運営され、定常状態の積立金が 78,365.85 であるとき、年間保険料総額に最も近いものはどれか。