MGF

確率・用語

ひとことで言うと

確率変数Xのすべての積率（モーメント：平均・分散などの元になる量）を1つの関数にまとめたものです。tで微分してt=0を代入すると、平均・分散などが次々取り出せます。

M(t)のグラフ。t=0で必ずM(0)=1を通り、その点での接線の傾きがE[X]（1次の積率）に等しい。

数式で表すと

$M(t)=E[e^{tX}],\ E[X^n]=M^{(n)}(0)$

定義は

M(t)=E[e^{tX}]

。これをtについてn回微分してt=0を代入すると、n次の積率がそのまま出てきます：

M^{(n)}(0)=E[X^n]

特にn=1で

M'(0)=E[X]

（平均）、n=2で

M''(0)=E[X^2]

が得られ、分散は

\mathrm{Var}[X]=E[X^2]-(E[X])^2=M''(0)-M'(0)^2

として計算できます。もう一つの重要な性質は一意性定理：2つの確率変数のMGFがある区間で完全に一致するなら、その2つは同じ分布に従います。「分布を直接求めるのが大変でも、既知の分布のMGFと一致することを示せば分布が特定できる」という強力な証明手段になります。独立な確率変数の和のMGFは、各MGFの積になります：X, Yが独立なら

M_{X+Y}(t)=M_X(t)M_Y(t)

。これは正規分布やポアソン分布の再生性（concept: 正規分布、ポアソン）を証明する標準的な道具です。

試験に出る性質

M(0)=1

$M(0)=E[e^{0}]=E[1]=1$ 。すべてのMGFがt=0で必ず1を通る。

微分でモーメントが出る

$M^{(n)}(0)=E[X^n]$ 。 $M'(0)=E[X]$ 、 $M''(0)=E[X^2]$ 。

一意性定理

MGFが一致する2つの確率変数は同じ分布に従う。分布の特定や証明に使う。

独立な和は積になる

独立なX,Yについて $M_{X+Y}(t)=M_X(t)M_Y(t)$ 。再生性の証明に使われる。

線形変換

$M_{aX+b}(t)=e^{bt}M_X(at)$ 。

例で見る

$X\sim Exp(\lambda)$ のMGFは $M(t)=\dfrac{\lambda}{\lambda-t}\ (t<\lambda)$ 。 $M'(t)=\dfrac{\lambda}{(\lambda-t)^2}$ なので $M'(0)=\dfrac{\lambda}{\lambda^2}=\dfrac{1}{\lambda}=E[X]$ 、指数分布の平均と一致する。

つまずきポイント

M(t)自体を確率や密度と勘違いする（M(t)は積率を生み出す道具であり、確率ではない）
$M'(0)$ を求める計算でt=0を代入し忘れ、関数のまま答えてしまう
独立な和のMGFを足し算してしまう（正しくは積）

定着クイズ

MGFの定義 $M(t)=E[e^{tX}]$ について、 $M(0)$ の値は？

$M'(0)$ が表すものは？

独立な確率変数X, Yについて、X+YのMGFは？