チェビシェフの不等式

損保数理・定理・統計的推測

ひとことで言うと

分布の形を一切仮定せずに、平均から一定以上離れた値をとる確率の「上限」を、分散の情報だけから保証してくれる不等式。粗い評価だが、どんな分布にも使える汎用性がある。

平均μから±k以上離れる確率は、分布の形によらずσ²/k²以下に収まる。

P\big(|X-\mu|\ge k\big)\le \dfrac{\sigma^2}{k^2}

平均 $\mu$ ・分散 $\sigma^2$ を持つ任意の分布について、平均から $k$ 以上離れる確率が $\sigma^2/k^2$

チェビシェフの不等式は、平均 $\mu$ ・分散 $\sigma^2$ を持つ任意の分布について

$P\big(|X-\mu|\ge k\big)\le \dfrac{\sigma^2}{k^2}$

分布の形を仮定せずに確率の上限を保証する

チェビシェフの不等式は分布の形を一切仮定せずに、平均から一定以上離れる確率の上限 $\sigma^2/k^2$ を与える（2017年度問題1）。

平均のk以内に収まる確率の下限も同時に得られる

不等式 $P(|X-\mu|\ge k)\le\sigma^2/k^2$

平均 $\mu=25$ 、分散 $\sigma^2$ の分布について、 $k=10$ のとき

$P(|X-25|\ge10)\le\sigma^2/10^2$

平均50、分散9の分布について、P(|X-50|≥6)の上限として正しいものはどれか。

チェビシェフの不等式の特徴として正しいものはどれか。

平均100、分散25の分布で、100±kの範囲に収まる確率が少なくとも0.75となるkの最小値として正しいものはどれか。