収支赤字確率

損保数理・用語・保険料算出原理・効用理論

ひとことで言うと

保険会社が受け取った保険料に対して、実際のクレーム総額（＋費用）がそれを上回ってしまう確率をどう評価するか。正規近似などを使って「その期間の収支が赤字になる確率」を数値化する。

クレーム総額Sの分布（正規近似）のうち、収入保険料に対応する損益分岐点cを超える右側の面積（網掛け部分）が収支赤字確率にあたる。

c：損益分岐点（収入保険料に対応する値）とするとき、

\Pr(S>c)\approx1-\Phi\!\left(\dfrac{c-E[S]}{\sqrt{V[S]}}\right)

クレーム総額 $S$ （費用も含めた支出総額として扱うこともある）に対し、収入保険料に対応する損益分岐点を $c$ とすると、収支赤字確率は $\Pr(S>c)$ で定義される。 $S$ の分布が複雑な場合や近似的に評価したい場合は、中心極限定理に基づく正規近似を用いて

$\Pr(S>c)=\Pr\!\left(\dfrac{S-E[S]}{\sqrt{V[S]}}>\dfrac{c-E[S]}{\sqrt{V[S]}}\right)\approx1-\Phi\!\left(\dfrac{c-E[S]}{\sqrt{V[S]}}\right)$

独立時の年間収支赤字確率の計算（正規近似）

複数の独立なリスクを合算したクレーム総額は、独立性を用いて $E[S]$ ・ $V[S]$ を正しく合算すれば、正規近似により損益分岐点を超える確率（収支赤字確率）を計算できる（2019年度問題3）。

クレーム総額Sの期待値が900、標準偏差（正規近似）が100であるとき、収入保険料に対応する損益分岐点cが1100であるとする。標準化すると

$z=\dfrac{1100-900}{100}=2$

$\Pr(S>1100)\approx1-\Phi(2)\approx1-0.9772=0.0228$

クレーム総額Sの期待値が900、標準偏差（正規近似）が100であるとき、収入保険料に対応する損益分岐点cが1100であるとする。収支赤字確率に最も近いものはどれか。

収支赤字確率を正規近似で評価するために、最低限必要な情報はどれか。

他の条件を一定として、収入保険料に対応する損益分岐点cを引き上げると、収支赤字確率はどうなるか。