効用理論（保険料の上限・下限）

損保数理・定理・保険料算出原理・効用理論

ひとことで言うと

契約者はリスクを保険会社に移転することで安心（効用の向上）を得られるが、そのために払ってもよい保険料には限度がある。効用理論は、契約者側・保険者側それぞれの効用の均衡条件から「支払ってよい保険料の上限」「引き受け可能な保険料の下限」を数式で導く枠組み。

指数効用関数のもとで、確実に保険料Pを支払った後の富w-Pの効用u(w-P)（曲線上の点）と、保険に入らずリスクXを保有した場合の期待効用E[u(w-X)]（曲線より下の点）が等しくなる条件から、支払ってよい保険料の上限Pが定まる（横軸・縦軸の目盛りは概念を示す模式的なもの）。

上限は

u(w-P)=E[u(w-X)]

を満たす

P

。指数効用

u(x)=-e^{-hx}

富 $w$ を持つ契約者が保険料 $P$ を払ってクレーム $X$ をすべて保険会社に移転する場合、契約者にとって保険に入る前後で期待効用が悪化しない条件は

$u(w-P)=E[u(w-X)]$

指数効用下の保険料上限は $P=(1/h)\log M_X(h)$

指数効用 $u(x)=-e^{-hx}$

（2016年度問題2）を参考にした例。指数効用 $u(x)=-e^{-hx}$ （ $h=0.05$ ）のもとで、クレーム総額 $X$ のモーメント母関数（MGF）が $M_X(0.05)=1.8$

上限（契約者側の効用条件）と下限（保険者側の効用条件）のどちらを問われているかを取り違えやすい。「支払ってよい」のか「引き受けてよい」のかで、効用の主体が逆になる。
指数効用の対数保険料公式 $P=(1/h)\log M_X(h)$ は指数効用に固有の結果であり、べき効用など他の効用関数では成り立たない。効用関数の形を確認せずに公式を当てはめない。
指数効用のもとでの保険料上限は初期財産Wに依存しない（CARA性質）が、hが変化すれば上限も変化する。「Wにもhにも依存しない」と誤って覚えない。

指数効用 $u(x)=-e^{-hx}$ （ $h=0.02$ ）のもとで、クレーム総額XのモーメントMGFが $M_X(0.02)=e^{1.5}$ であるとき、契約者が支払ってよい保険料の上限Pに最も近いものはどれか。

指数効用のもとでの保険料上限 $P=(1/h)\log M_X(h)$ は、契約者の初期財産Wにどう依存するか。

リスク回避度hを大きくすると（よりリスクを嫌う契約者ほど）、契約者が支払ってよい保険料の上限Pはどうなるか。