保険料算出原理（エッシャー・ワン・分散・標準偏差等）

損保数理・公式・保険料算出原理・効用理論

ひとことで言うと

純保険料（将来支払うクレームの期待値 E[X]）だけでは、保険会社は損失のリスクを負いきれない。そこで「期待値に安全のための割増を上乗せする」ルールを何種類か定義し、状況に応じて使い分ける。上乗せの仕方（測り方）が違うだけで、目的はどれも同じ——リスクに見合った保険料を決めることである。

同じ保険金X（平均3・分散2の正規分布、h=0.1）を4つの原理で計算した例。緑の破線はμ=3（安全割増を含まない純保険料）。棒の高さの差が原理ごとの安全割増の違い（2023年度問題1(3)を参考にした数値）。

数式で表すと

P_{\text{期待値}}=(1+\theta)E[X],\quad P_{\text{分散}}=E[X]+h\,V[X],\quad P_{\text{標準偏差}}=E[X]+h\sqrt{V[X]},\quad P_{\text{エッシャー}}=\dfrac{E[X e^{hX}]}{E[e^{hX}]}

代表的な保険料算出原理と数式は次のとおり（ $X$ ：将来の保険金、 $\mu_X=E[X]$ 、 $\sigma_X^2=V[X]$

試験に出る性質

原理間の一致関係（正規分布での特例）

$X$ が正規分布に従うとき、エッシャー原理・期待値原理・分散原理などが特定のパラメータ対応の下で一致することを確認させる設問が出る（2019年度問題2Ⅲ(1)）。実際、正規分布のエッシャー変換後の分布は平均 $\mu+h\sigma^2$ ・分散 $\sigma^2$ の正規分布になる（2022年度問題3(3)ア）ため、エッシャー原理の保険料は分散原理と同じ形

例で見る

2023年度過去問（問題1(3)）を参考にした例。将来の保険金 $X$ が平均3、分散2の正規分布に従うとき、 $h=0.1$ として4つの原理で保険料を計算すると：

期待値原理： $P=(1+0.1)\times3=3.30$

つまずきポイント

原理ごとに使うパラメータ記号（h または θ）や式の形が異なる。θ は「期待値の何%増しか」を表す倍率、h は分散原理・エッシャー原理などの式の中の係数で、単位も意味も異なる。原理を取り違えて式を当てはめない。
パーセンタイル原理の h は「上側何%点を取るか」という確率パラメータであり、標準偏差原理の h（標準偏差の何倍を上乗せするか）とは意味がまったく違う。同じ記号 h でも原理によって意味が異なることに注意する。
正規分布のような特殊なケースでは複数の原理が同じ値・同じ形の式に帰着することがあるが、これは一般の分布では成り立たない特例。「正規分布だから一致する」という前提を他の分布に当てはめない。

定着クイズ

将来の保険金 $X$ が平均5、分散4の正規分布に従うとする。分散原理 $P(X)=\mu_X+h\sigma_X^2$ により、 $h=0.15$ として算出した保険料に最も近いものはどれか。

分散原理 $P(X)=\mu_X+h\sigma_X^2$ と標準偏差原理 $P(X)=\mu_X+h\sigma_X$ について、保険金が一律で2倍（ $Y=2X$ ）になったとき $P(Y)=2P(X)$ （保険料もちょうど2倍になる＝正同次性を満たす）が成り立つのはどちらか。

将来の保険金 $X$ が正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ に従うとき、エッシャー原理 $P(X)=\dfrac{E[Xe^{hX}]}{E[e^{hX}]}$ による保険料はどの式に一致するか。

関連：営業保険料・純保険料の構成効用理論（保険料の上限・下限）複合ポアソン分布

この用語を扱う問題（21）

営業保険料・純保険料の構成→