ベイズ推定（クレディビリティ）

損保数理・用語・経験料率・クレディビリティ理論

ひとことで言うと

リスクの高さ（パラメータΘ）について「こうだろう」という事前の見込み（事前分布）を、実際の観測データで更新し、事後の見込み（事後分布）を求める考え方。2乗誤差を最小にする推定量は、この事後分布の平均になる。

観測データxを反映させて事前分布π(θ)を事後分布π(θ|x)に更新する。

\hat\Theta=E[\Theta\mid X=x]=\int \theta\,\pi(\theta\mid x)\,d\theta

ベイズ推定では、リスクパラメータ $\Theta$ に事前分布 $\pi(\theta)$ を与え、観測データ $x$ から事後分布 $\pi(\theta\mid x)$ を求める。2乗誤差を最小にする推定量は事後平均

$\hat\Theta=E[\Theta\mid X=x]=\int \theta\,\pi(\theta\mid x)\,d\theta$

2乗誤差を最小にする推定量は事後平均

2乗誤差を最小にする推定量は事後平均 $E[\Theta\mid x]$ であり、この推定量のもとでの2乗誤差の期待値（残余）は事後分散 $V[\Theta\mid x]$ になる（2017年度問題3、2022年度問題3）。

ガンマ-ポアソンの組み合わせは事後分布もガンマ分布になる

事前分布がガンマ分布、尤度がポアソン分布の場合（ガンマ-ポアソン）、共役性により事後分布も閉じた形のガンマ分布になり、事後平均を直接計算できる（2019年度問題4、2021年度問題3）。

正規-正規モデルも事後分布が正規分布になる

事前分布を $\Theta\sim\Gamma(\alpha=2,\beta=1)$ とし、3年間（ $n=3$ ）の観測クレーム件数の合計が5件だったとする。ガンマ-ポアソンの共役性により、事後分布は

$\Theta\mid\text{data}\sim\Gamma(\alpha+5,\ \beta+n)=\Gamma(7,4)$

事前分布Θ~Γ(α=3,β=2)、2年間の観測クレーム件数の合計が7件のとき、事後平均に最も近いものはどれか。

2乗誤差を最小にするベイズ推定量として正しいものはどれか。

ベイズ推定とビュールマンモデルの関係として正しいものはどれか。